2025年高一数学竞赛及试题答案

高一数学竞赛试题及答案 时间： /3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.总分 150 分,考试时间 120 分钟. 1.（本小题满分 15 分） 设集合，（1）若求的值； （2）若,求的取值范围； （3）若,求的取值范围.2.（本小题满分 15 分）设（1）求证：（2）为单调函数时，与否有？请阐明理由.3．（本小题满分 15 分）已知函数在有最大值 5，求实数的值．4．（本小题满分 15 分） 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有 f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数 y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程 f(x)＝0 在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．5．（本小题满分 15 分）已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）假如，设函数的对称轴为，求证：；（2）假如，，求的取值范围.6．（本小题满分 15 分）如 图 ， 直 三 棱 柱中 ，，是 棱的 中 点 ，。（1） 证明：；（2） 求二面角的大小。7．（本小题满分 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．通过三点的圆记为 C.(1)求实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 与否通过定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论．8．（本小题满分 20 分） 设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，其图象有关直线 x=1 对称，对任意 x1,x2∈[0，]均有且 f（1）=a＞0． （Ⅰ） （Ⅱ）证明是周期函数； （Ⅲ）记求9 ． （ 本 小 题 满 分 20 分 ） 设是 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当时 ，，.（1）若，求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若的值域为，求的取值范围.高一数学竞赛试题参照答案1、解： （1） ∴ 即，，解得① 当时， ② 当时， 综上（2） ∴① 当时，则该一元二次方程无解，即△<0，∴，即② 当时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即1. 当时， 2. 当时，该一元二次方程有两个不一样实数根 1 和 2 ∴ ，即 ，即 （舍） ,∴综上（3） ∴① 当△<0 时，即，，满足规定② 当△=0 时，即，，，舍③ 当△>0 时，即，因此只需将 1 代入方程中得;将 2 代入方程中得因此综上，的取值范围为2、3、解： 令，则，从而令，由题意知在有最大值 5.若 M ，则存在0xM，满足00fxx， 所以0...