第十七讲 平面几何中的定值问题 定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．假如问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来处理；假如问题中未给出定值，可以运用特殊的措施推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几种例题，阐明上述思考措施． 例 1 如图 3－80．已知△ABC 中，AB=AC，P 是其底边 BC 上任一点，设 AP 交△ABC 的外接圆于 Q 点，求证：AP·AQ 为定值． 分析 欲证 AP·AQ 为定值，我们先用特殊化措施找出这个定值是什么，然后再给以一般化的证明．为此，我们取 P 与 B(或 C)重叠，则 Q 点也必与 B(或 C)重叠，则 AP·AQ 应等于 AB2(定值)，如下证明这个推测．证连结 BQ．由于 AB=AC，因此∠ABC=∠ACB．又由于∠ACB=∠AQB，因此∠ABC=∠AQB．又由于∠BAQ=∠PAB，因此 因此 AP·AQ=AB2(定值)． 注意 假如连结 QC，将怎样证明？请读者思考． 例 2 如图 3－81．已知△ABC 中，AB=AC，假如直线 EF，MN 都垂直于BC，试证明：不管 MN，EF 怎样平行移动，只要 MN，EF 之间的距离不变，五边形 AMNFE 的周长是一种定值． 分析 从图 3－81 中可以发现，假如引 AD⊥BC 于 D，由已知条件可知AB(或 AC)，AD，NF，BD(或 CD)都为定值，因此，若五边形 AMNFE 的周长转化为以上各线段的体现式，则可判定其为定值． 证 作 AD⊥BC 于 D，则 因此 因此 又由于 因此 因此 因此 由于△ABC 为确定的等腰(AB=AC)三角形，因此 AD，BD，CD，AB 为定值，又由于 EF，MN 之间距离为定长，因此 NF 为定值．因此五边形 AMNFE 的周长为定值． 例 3 设 OA，OB 是已知圆 O 的任意两条半径，过 B 引 BE⊥OA 于 E，过E 作 EP⊥AB 于 P．求证：OP2+EP2为定值(图 3－82)． 分析 由已知 A，B 为⊙O 上任意两点，假如固定 A，让 B 在圆上移动，当 B 点移动到半圆中点时，BE 变成了半径 r，E 与 O 重叠， 证 延长 OP 交⊙O 于 C，D(图 3－82)．由于在直角三角形 AEB 中，∠AEB=90°，EP⊥AB 于 P，因此 EP2=AP·PB=CP·PD ＝(OC-OP)·(OD+OP) ＝r2-OP2，因此 EP2+OP2=r2(定值)． 例 4 若 P 为圆 O 内一定点，过 P 任作一弦 AC，分别过 A，C 引圆的切线，再过 P 分别作两切线的垂线，垂足为 Q，R(如图 3－84)， 分析 根据已知，AC 为过圆 O 内定点 P...
