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课时作业(二十) 立体几何VIP免费

课时作业(二十) 立体几何_第1页
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课时作业(二十)一、选择题1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°,则l1与l2所成的角为()A.30°B.150°C.30°或150°D.以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补,且异面直线所成角的范围为.应选A.【答案】A2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A.B.-C.D.-【解析】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),∴cos〈AB,CD〉===,∴直线AB、CD所成角的余弦值为.【答案】A3.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1.则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0).取PD中点为E,则E,∴AE=,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD的法向量,∴cosAD,AE=,∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】B4.(2014·陕西师大附中高二检测)如图3229,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD—A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,点E、F分别为C1D1、A1B的中点,则二面角B1A1BE的余弦值为()图3229A.-B.-C.D.【解析】设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),因为E、F分别为C1D1、A1B的中点,所以E(0,1,2),F(1,1,1),所以A1E=(-1,1,0),A1B=(0,2,-2),设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则所以所以取x=1,则y=z=1,所以平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1),又DA⊥平面A1B1B,所以DA=(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量,所以cos〈m,DA〉===,又二面角B1A1BE为锐二面角,所以二面角B1-A1BE的余弦值为,故选C.【答案】C二、填空题5.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1、BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.【解析】依题意,建立如图所示的坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,∴AM=,CN=,∴cos〈AM,CN〉==,故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】6.(2014·临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0)、B(2,1,),则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________.【解析】设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,),所以cos〈n,AB〉==,因为〈n,AB〉∈[0,π],所以sin〈n,AB〉==.【答案】7.已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.【解析】如图,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,平面ABC的法向量为n1=(0,0,1),平面AEF的法向量为n2=(x,y,z).所以A(1,0,0),E,F,所以AE=,EF=,则即取x=1,则y=-1,z=3.故n2=(1,-1,3).所以cos〈n1,n2〉==.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα=,sinα=,所以tanα=.【答案】三、解答题8.如图3230所示,在四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.图3230(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.【解】(1)证明:连结OC,由题意知BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.又BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,又AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC. BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),E,∴BA=(-1,0,1),CD=(-1,-,0),∴cos〈BA,CD〉==.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.9.四棱锥PABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.【解】如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h),(1) AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),∴AC·DP=0,AC·DB=0,∴AC⊥DP,AC⊥DB,又DP∩DB=D,∴AC⊥平面PDB,又AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD=AB且E为PB的中点时,P(0,0,a),E,设AC∩BD=O,O,连结OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面P...

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