立体几何高考经典例题解析答案VIP免费

立体几何答案26.【2012高考辽宁理18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点。(Ⅰ)证明：∥平面;(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题.【解析】（1）连结','ABAC，由已知=90,=BACABAC三棱柱-'''ABCABC为直三棱柱，所以M为'AB中点.又因为N为''BC中点所以//'MNAC，又MN平面''AACC'AC平面''AACC，因此//''MNAACC平面……6分（2）以A为坐标原点，分别以直线,,'ABACAA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系-Oxyz，如图所示设'=1,AA则==ABAC，于是0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1ABCABC，所以1,0,,,,12222MN，设111=,,mxyz�是平面'AMN的法向量，由'=0,=0mAMmMN��得11111-=0221+=022xzyz，可取=1,-1,m�设222=,,nxyz是平面MNC的法向量，由=0,=0nNCnMN����得22222-+-=0221+=022xyzyz，可取=-3,-1,n因为'--AMNC为直二面角，所以2=0,-3+-1-1+=0mn�即，解得=2……12分【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。27.【2012高考湖北理19】（本小题满分12分）如图1，45ACB，3BC，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使90BDC（如图2所示）．（Ⅰ）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小．第19题图【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC中，设(03)BDxx，则3CDx．由ADBC，45ACB知，△ADC为等腰直角三角形，所以3ADCDx.由折起前ADBC知，折起后（如图2），ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD．又90BDC，所以11(3)22BCDSBDCDxx．于是1111(3)(3)2(3)(3)33212ABCDBCDVADSxxxxxx312(3)(3)21233xxx，当且仅当23xx，即1x时，等号成立，故当1x，即1BD时,三棱锥ABCD的体积最大．解法2：同解法1，得321111(3)(3)(69)3326ABCDBCDVADSxxxxxx．令321()(69)6fxxxx，由1()(1)(3)02fxxx，且03x，解得1x．当(0,1)x时，()0fx；当(1,3)x时，()0fx．所以当1x时，()fx取得最大值．故当1BD时,三棱锥ABCD的体积最大．（Ⅱ）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz．由（Ⅰ）知，当三棱锥ABCD的体积最大时，1BD，2ADCD．于是可得(0,0,0)D，(1,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)A，(0,1,1)M，1(,1,0)2E，且(1,1,1)BM�．设(0,,0)N，则1(,1,0)2EN�.因为ENBM等价于0ENBM�，即11(,1,0)(1,1,1)1022，故12，1(0,,0)2N.DABCACDB图2图1ME.·所以当12DN（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，ENBM．设平面BMN的一个法向量为(,,)xyzn，由,,BNBM��nn及1(1,,0)2BN�，得2,.yxzx可取(1,2,1)n．设EN与平面BMN所成角的大小为，则由11(,,0)22EN�，(1,2,1)n，可得1|1|32sincos(90)2||||262ENEN��nn，即60．故EN与平面BMN所成角的大小为60.解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥ABCD的体积最大时，1BD，2ADCD．如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD.由（Ⅰ）知AD平面BCD，所以MF平面BCD.如图c，延长FE至P点使得FPDB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DPBF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP，所以ENBF.因为MF平面BC...