考点直线与圆锥曲线的位置关系1．(2015·四川，10)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当l的斜率存在时，x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，由CM⊥AB得k·＝－1，y0k＝5－x0，2＝5－x0，∴x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，有－2＜y0＜2， 点M在圆上，∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4，故选D.答案D2．(2013·山东，11)抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A.B.C.D.解析设抛物线焦点A，双曲线右焦点为B(2，0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，直线AB方程为px＋4y－2p＝0，由得M点横坐标为xM＝，又y′＝x，∴xM＝，又p＞0，∴＝，即＝＋p，平方可解得p＝.答案D3．(2012·浙江，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C.D.解析设椭圆长半轴的长为a(a＞0)，则双曲线实半轴的长为，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c，所以双曲线的离心率e1＝＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝＝2，故选B.答案B4．(2015·天津，19)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.①求λ的值；②若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．解(1)设F(－c，0)．由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c，0)，故直线BF的斜率k＝＝＝2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．①由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.又因为λ＝，及xM＝0，可得λ＝＝＝.②由①有＝，所以＝＝，即|PQ|＝|PM|.又因为|PM|sin∠BQP＝，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝.又因为yP＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝＝c，因此c＝，得c＝1.所以，椭圆方程为＋＝1.5．(2015·北京，20)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．解(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝.所以椭圆C的离心率e＝＝.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)，直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)，令x＝3，得M(3，2－y1)，所以直线BM的斜率kBM＝＝1.(3)直线BM与直线DE平行，证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝(x－2)．令x＝3，得点M，由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，直线BM的斜率kBM＝，因为kBM－1＝＝＝＝0，所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE，综上可知，直线BM与直线DE平行．6．(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解(1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，...
