高考数学复习 第六章 第三节 等比数列及其前n项和 理试题VIP专享VIP免费

考点一等比数列中的运算问题1．(2015·新课标全国Ⅱ，4)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案B2．(2014·重庆，2)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.答案D3．(2013·江西，3)等比数列x，3x＋3，6x＋6…，的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析由题可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍)，故第四项为－24.答案A4．(2015·安徽，14)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.答案2n－15．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．解析设等比数列{an}的公比为q，q>0.则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.答案46．(2012·浙江，13)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________．解析由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)．答案7．(2014·新课标全国Ⅱ，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)…证明＋＋＋<.证明(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.…于是＋＋＋≤1…＋＋＋＝<.…所以＋＋＋<.8．(2013·陕西，17)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．(1)解设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1…＋＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2…＋＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝(2)证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk＋1＋a1qk＋1， a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴数列{an＋1}不是等比数列．考点二等比数列的性质1．(2014·大纲全国，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3解析lga1＋lga2…＋＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C.答案C2．(2012·安徽，4)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7解析由题意可设an＝a1×2n－1，且a1>0， a3a11＝16，∴a1＝，∴log2a10＝log2×29＝log225＝5，故选B.答案B3．(2014·天津，11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析由已知得S1·S4＝S，即a1·(4a1－6)＝(2a1－1)2，解得a1＝－.答案－4．(2014·广东，13)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2…＋＋lna20＝________．解析由等比数列的性质可知a10a11＋a9a12＝2e5⇒a1a20＝e5，于是a1a2…a20＝(e5)10＝e50，lna1＋lna2…＋＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝lne50＝50.答案505．(2015·湖南，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．解析由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.答案3n－16．(2011·北京，11)在等比数列{an}中，若a1...