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1、设有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于E。证明：因为在上可测，由鲁津定理是，对任何正整数，存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时，有所以对任意的，成立由此可得，因此即，由黎斯定理存在的子列，使得，于E2、设上的连续函数，为上的可测函数，则是可测函数。证明：记，由于在上连续，故对任意实数是直线上的开集，设，其中是其构成区间（可能是有限个，可能为可有为）因此因为在上可测，因此都可测。故可测。3、设是上的实值连续函数，则对于任意常数，是一开集，而总是一闭集。证明：若，因为是连续的，所以存在，使任意，，即任意是开集若且，由于连续，，即，因此E是闭集。4、（1）设求出集列的上限集和下限集证明：设，则存在N，使，因此时，，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然若有，则存在N，使任意，有，因此若时，，此不可能，所以（2）可数点集的外测度为零。证明：证明：设对任意，存在开区间，使，且所以，且，由的任意性得5、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证：显然，的收敛点集可表示为=.由可测及都可测，所以在上可测。从而，对任一自然数，可测。故可测。既然收敛点集可测，那么发散点集也可测。6、设，存在两侧两列可测集{}，{},使得且（-）→0，（n→∝）则可测.证明：对于任意，，所以又因为，所以对于任意，令→∝，由→0得所以是可测的又由于可测，有也是可测的所以是可测的。7、设在上，而成立，，则有设，则。所以因为，所以即8、证明：。证明：因为，，所以，，，从而反之，对任意，即对任意，有为无限集，从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，，。综上所述，。9、证明：若，（），则于。证明：由于，而，所以，，由，（）得，。所以，，从而，即于。10、、证明：若，（），则（）。证明：对任意，由于，所以，由可得，和至少有一个成立。从而，所以，。又由，（）得，，。所以，，即（）。11、若（），则（）。证明：因为，所以，对任意，有，。又由（）得，。所以，，即（）。12、证明：上的连续函数必为可测函数。证明：设是上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数，是开集，从而是可测集。所以，是上的可测函数。13、证明：上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设是上的单调递增函数，对任意实数，记，由单调函数的特点得，当时，，显然是可测集；当时，，也显然是可测集。故是上的可测函数。14、设，是的可测子集，且，若，则。证明：因为是的可测子集，且，所以，，从而由得，。又，由积分的绝对连续性，。15、设，若对任意有界可测函数都有，则于。证明：由题设，取，显然为上的有界可测函数，从而。所以，于，即于。16、设，，证明（1）；（2）。证明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由积分的绝对连续性得，，从而注意到，所以，。17、若是上的单调函数，则是上的有界变差函数，且。证明：不妨设是上的单调增函数，任取的一个分割则，所以，。18、若在上满足：存在正常数，使得对任意，都有，则（1）是上的有界变差函数，且；（2）是上的绝对连续函数。证明：（1）由题设，任取的一个分割则，所以，是上的有界变差函数，且。（2）在内，任取有限个互不相交的开区间，。由于，于是，对任意，取，则当时，有，即是上的绝对连续函数。19、若是上的绝对连续函数，则是上的有界变差函数。证明：由是上的绝对连续函数，取，存在，对任意有限个互不相交的开区间，，只要时，有。现将等分，记分点为，使得每一等份的长度小于。易得，即是上的有界变差函数。又，所以，，即是上的有界变差函数。20、若是上的有界变差函数，则（1）全变差函数是上的递增函数；（2）也是上的递增函数。证明：（1）对任意，，注意到，有，即是上的递增函数。（2）对任意，，注意到，有，即是上的递增函数。21、证明Jordan分解定理：是上的有界变差函数可表示成上的两个增函数之差。证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。事实上，，由上题和都是上的递增函数。