考点一合情推理与演绎推理1．(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，“”“”“依次为优秀合格不”合格．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则“”称学生甲比学生乙成绩好．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人解析学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙．一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B.答案B2．(2012·江西，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11…，，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.答案C3．(2011·江西，7)观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125…，，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析由观察易知55的末四位数字为3125，56的末四位数字为5625，57的末四位数字为8125，58的末四位数字为0625，59的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2011＝502×4＋3，因此52011的末四位数字是8125.答案D4．(2015·山东，11)观察下列各式：C＝40；C＋C＝41;C＋C＋C＝42；C＋C＋C＋C＝43；……照此规律，当n∈N*时，C＋C＋C…＋＋C＝________．解析观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n个等式右边为4n－1.答案4n－15．(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2…，，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．解析(ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.答案56．(2013·陕西，14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．解析左边共n项，每项的符号为(－1)n＋1，通项为(－1)n＋1·n2.等式右边的值符号为(－1)n＋1，各式为(－1)n＋1(1＋2＋3…＋＋n)＝(－1)n＋1，∴第n个等式为12－22＋32－42…＋＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·.答案12－22＋32－42…＋＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·7．(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10…，，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝n2＋n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝n2－n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，…………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.解析由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是，公差是的等差数列，含n项的系数为首项是，公差是－的等差数列，因此N(n，k)＝n2＋n＝n2＋n.故N(10，24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1000.答案10008．(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案F＋V－E＝29．(2013·福建，15)当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：1＋x＋x2…＋＋xn…＋＝.两边同时积分得：1dx＋x...
