§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为 1，项数只有 1 项．要注意幂函数与指数函数 y＝ax (a>0，且 a≠1)的区别，这里底数 a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当 α＝1,2,3，，－1 时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果 α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果 α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴；当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴；(4)当 α＝1,3，－1 时，幂函数为奇函数；当 α＝2 时，幂函数为偶函数；当 α＝时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即 α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1 时的图象是竖直抛物线型，0<α<1 时的图象是横卧抛物线型，α<0 时的图象是双曲线型 题型一 理解幂函数的图象与性质下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数 α 取 1,3，时，幂函数 y＝xα是增函数D．当幂指数 α＝－1 时，幂函数 y＝xα在定义域上是减函数解析 当幂指数 α＝－1 时，幂函数 y＝x－1的图象不通过原点，故选项 A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且 y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项 B 不正确；而当 α＝－1 时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C 题型二 幂函数定义及性质的应用已知幂函数 f(x)＝(t3－t＋1)x(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数 t 的值．分析 关于幂函数 y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当 q为偶数时，p 必为奇数，y＝x 是非奇非偶函数；当 q 是奇数时，y＝x 的奇偶性与 p 的值相对应．解 f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1 或 0....
