2009年高中数学三角函数的最值问题

三角形中的最值问题 山东莘县观城中学 郭银生解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明： 例 1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ） A．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是 1/3 的锐角 解：解法 1.（三角函数的有界性）设斜边为 c，其一个锐角是 α，周长是 L,则两个直角边是csinα 和 ccosα，故 L=c+csinα +ccosα =c+1.414csin(α+∏ /4 ) ∵0<α<∏/2 ∴当 α+∏ /4 =∏/2 时，Lmax=c+1.414c 故选 A 解法 2.设两条直角边为 a,b,周长为 L，则斜边 c=是定值。 L=a+b+≤+=(+1) (当且仅当 a=b 时取等号)即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选 A.例 2．已知直角三角形周长是 1，其面积的最大值为 . 方法Ⅰ.（三角函数的有界性）设该直角三角形的斜边是 c，一个锐角是 A，面积是 S，则两条直角边是 csinA 和 ccosA，根据题意csinA+ccosA+c=1,即 c= ① 用心 爱心 专心S=csinA*ccosA=sin2A≤ (当且仅当 A=∏/4 时取等号)把 A=∏/4 代入①得 c=∴ S=*() =例 3．已知圆 o 的半径是 R，在它的内接⊿ABC 中，有 2R(sin A-sin C)=(a-b)sinB 成立，求⊿ABC 的面积 S 的最大值。解：根据题意得： 2R(-)=(a-b)*化简可得 c =a +b -ab, 由余弦定理可得：C=45 , A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135 -A)=(sin(2A+45 )+1∵0