南京人口管理干部学院 2010—2011 学年第一学期 《高等数学》考试模拟试卷一．填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1．设f ( x)={x2,x<01−xx≥0 ，g(x)={2+x ,x≤02−xx>0 ，则g( f ( x))= . 2．已知 limx→0(1+ f ( x)4x−1)1lncosx =2，则limx→0f ( x)x3= .3．f ( x)=limn→ ∞1−x2n1+x 2 n 的间断点是 .4．设函数y= y(x )由方程ln (x2+ y)=x3 y+sinx 确定，则dydx|x=0= .5． 设{x=1+t2y=cost ，则d2 ydx2 = .6.曲线y=ln x 上的并与直线x+ y=1 垂直的切线方程为 .二．选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 1. 已知f ( x)在(a,b]上连续且limx→a+ f ( x)存在，则 （ ）（A）f ( x)在(a,b]上无界（B）f ( x)在[a,b)上无界(C) f ( x)在(a,b]上有界 （D）f ( x)在[a,b)上有界2. 设当x→0 时，(1−cos x)ln(1+x2)是比x sinxn 高阶的无穷小，而x sinxn 是比(ex 2−1)高阶的无穷小，则正整数n 等于 （ ）（A） 1 （B） 2 (C) 3 （D） 4 3. 设数列{xn}与{yn}满足limn→∞ xn yn=0，则下列正确的是 （ ）（A）若{xn}发散，则{yn}必发散 （B）若{xn}无界，则{yn}必有界 (C) 若{xn}有界，则yn 必为无穷小 （D）若{ 1xn}为无穷小，则yn 必为无穷小 4. 设函数f (u)可导，y=f ( x2)，当自变量x 在x=−1处取得增量Δx=−0.1时，相应的函数增量Δy 的线性主部为0.1，则f'(1)值为 （ ）（A）−1（B） 0.1 (C) 1 （D） 0.5 5.函数f ( x)=(x2−x−2)|x3−x|不可导点的个数 （ ）（A）3 个 （B）2 个 (C) 1 个 （D）0 个三、解答题：(每小题 8 分，共 24 分)1．确定常数 a，b 的值，使函数f ( x)={(2 x2+cos2 x)x−2abx−1xx<0x=0x>0 在(−∞,+∞)上连续.2．设f ( x)为单调可导函数，其反函数为g( y )，且已知f (1)=2 ，f'(1)=− 1√3 ， f''(1)=1，求g' '(2).3. 设y=ln(6 x2+7 x−3)，(n≥1)，求y(n ).四、 证明题（每小题 8 分，共 32 分）1．设x1=10 ，xn+1=√6+ xn (n=1,2,⋯)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限.2．设f ( x)在x=1处连续，且limx→1f ( x)+x x−3x−1=−3，证明：f ( x)在x=1处可导， 并求f'(1).3．设f ( x)在[0,3]上连续，且f (0)=f (3)，证明至少存在一点ξ ∈[0,2]，使f (ξ)=f (ξ+1). 4.设函数在（）上有定义, 在...
