用放缩法证明不等式VIP专享

利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：(1)先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。2-,n—1,23,。设 T—?,n—1,23,，证明:为 T—3 艺(」i2V2/—12/+1—f2'21—122—122—123—1i—11)3)<2n+1—12先放缩通项，然后将其裂成 n(n>3)项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。证明：易得 S—2(2”+1—1)(2n-1),n32n2(2n+1-1)(2n-1)22n-11),例 1 设数列｝的前”项的和 S—ann3i—12(右点评：2n此题的关键是将裂项成(2n+1—1)(2n—1)，然后再求和，即可达到目标。2)已知数列｛。｝和｛b｝满足 a=2,a一 1=a(a一 1)，b=a一 1，数列｛b｝的前 n 和为 S，T—S—S；n2n(I)求证:证明: (I) T—Tn+1T>T；n+1n11++(II)求证：当 n>2 时，S”n+2n+3+1—(」++2n+2n+1n+2n> 7n+11>12+)T>T.n+1n+S—S+S—T+T++T+T+S2112»—12»—221117>T,又 T—,S—1,T—1212171(II)n>2,AS—S—S+S—S+2n—2由(1)・可知 T 递增，•n从而 T>T>2n—12n—2+T+T+S>(n—1)T+T+S—(n—1)++1—2112111227 n + 11 127 n + 11 即当 n>2 时，S>2n12点评：此题（II）充分利用（丨）的结论，T 递增，将 S 裂成 S-S+S-S++S-S+Sn2n2n2n-12n-12"-2211的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。3,点(a,a)在直线 3x—y=0(nGN*)上。1473n+1-(1+)]3>•—•-=3n+1c143n-2n-(1+丄)>3;3n+T。…cn点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，13n1（1+—）3=（「^）3可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加 1,加 c3n-2n_亠/3n-1、3n-13n3n+13n+1 亠（f3n+1、亠丄丄丄’2,则积变小，（）3>••=，而通项式为｛｝的数列在迭乘时刚好相消，3n-23n-23n-13n3n-23n-2从而达到目标。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系,进行迭代,从而求解。1112例 4 已知数列｛x｝满足，x=,x=,nGN*，证明：Ix-x£：•()n-1on12n+11+xn+1n65n证明：当 n=1时，1x一 x|=|x一 x|=，结论成立。n+1n216若 c=loga3-2(nGN*),证明对任意的 nGNn3n，不等式(1+-)(1+-)-cc12-(1+丄)>33n+1 恒成立.cn3n - 1 )3c3n-2n证明：C=3n-2，(1+丄)3=(n3n - 1...