《对称性在高中数学解题中的应用》对称性在高中数学解题中的应用【摘要】解题是一门艺术，利用对称性解题更是一种非常重要的解题方法，高中数学中的若干实例证明了恰当利用对称性可减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题速度，达到事半功倍的效果.【关键词】对称性：高中数学：应用对称是一个数学概念，更是一种思想方法，在几何、代数中恰当的运用对称性解决问题，既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力.1对称的含义数学中，狭义上的对称，分为轴对称和中心对称，主要是图形上的一种对称关系；广义上的对称，是自然界中无处不在的和谐之美，在数学中体现有：公式的对称美、轮换式和对称式……前者，主要是从形的角度，借助于图形的对称性来研究某些数学问题，比如求二次函数的值域；后者，是建立在我们平常接触最多的代数式的基础上，从数的角度，分析具有对称关系的一个或多个代数式之间的内在联系以及在高中数学中的应用.1.1对称美的表现1.杨辉三角杨辉三角具有对称性，即C=C-111211331146411510105116152015611Cl_C²…CC1…Cn-11C…C2.公式的对称美很多数学公式，它里面的字母具有对称关系，例如完全平方公式(a+b)=a²+2ab+b²,立方和公式a³+b³=(a+b)a²-ab+b²),在公式中，交换字母a和b,公式本身没有发生变化.3.图形的对称美对称的几何图形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、二次函数的图象、圆、椭圆等等，它们有些是轴对称图形，有些是中心对称图形；在空间中，球就是一个高度对称的几何体，再如正多面体，圆台、圆锥等.合理利用这些对称性，将有利于我们快速解题.2对称在高中数学中的应用2.1对称性在几何中的应用1在几何方面，对称性较为直观。如果我们能将球，圆，双曲线，椭圆，抛物线等的直观对称性应用到待解决的问题中去，那么就可以把陌生的和困难的问题转化为我们熟悉的容易的问题中来，从而有种“聊暗花明又一村”的感觉，达到化难为易的效果!2.1.1解决平面几何问题例1.如图双曲线)与直线y=kx(k<0)交于点A、B,过点A作AC垂直y轴于点C,求S△ABC。解：因为反比例函数的图象关于原点对称，直线y=kx过原点，所以A、B两点必关于原点对称。所以0A=0B,所以S△AOC=S△BOC。设点A坐标为(a,b),由题意得AC=|a|,0C=|b|,。所以S△ABC=|abl。对于此题，如果只从交点考虑，问题就难以下手。运用双曲线的中心对称性分析此题，问题就迎刃而解了。2.1.2解决交点坐标问题例2已知正比例函数y=ax(a≠0)和反比例函数(b≠0)(ab>0)的图像相交于点A、B,已知点A坐标为(√6,-2),求点B的坐标。分析：学生在求B点坐标的过程中，很多学生都会顺着常规的解题思路，将A(√6,-2),代入函数解析式求出a、b,再联立方程组进而求得点B的坐标。确实这样的解题方法很容易就让学生理解，但计算量很大，也很复杂，若利用函数图象的对称性，则很容易求得B点的坐标。解：因为正比例函数y=ax和反比例函数的图象都关于原点对称，所以两交点的坐标也关于原点对称，所以B(-√6,2)。2.1.3解决最值问题例3已知点M(3,5),在直线7:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q.使△MPQ的周长最小。分析：如下图，作点M关于直线1的对称点M,再作点M关于y轴的对称点M,连结MM、MM,₂连线MM、ML与1及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小解：由点M(3,5)及直线1,可求得点M关于1的对称点M(5,1)。同样容易求得点/关于y轴的对称点M(-3,5)₂。据M及M₂两点可得到直线MM₂的方程为x+2y-7=0.令x=0,得到MM₂与y轴的交点:解方程组得交点故点即为所求。恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果2.1.4解决参数范围问题在解题时有针对性的利用对称性先引入辅助性的新变数(我们一般称之为参数),然后把要证明或求解的关系式转化为参数的关系式，最后消去参数，从而得到问题的解。我们会发觉利用对称性会更有利于我们设置简易的参数来方便我们解题。例4若抛物线y=ax²-1上总存在关于直线x+y=0的异于交点的两个对称点，试求实数a的取值范围。解法一：(对称曲线相交法)曲线y=ax²-1关于直线x+y=0对称的曲线方程为-x=ay²-1.如果抛物线y=ax...
