难点 21 直线方程及其应用直线是最简单的几何图形,是解析几何最基础的部分,本章的基本概念;基本公式;直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度,线性规划是直线方程一个方面的应用,属教材新增内容,高考中单纯的直线方程问题不难,但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.●难点磁场(★★★★★)已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c.●案例探究[例 1]某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α<180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a>b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?命题意图:本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用,而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:三角函数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值.错解分析:解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问题转化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当,或选择求 sinACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法:欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取最大值,欲求角的最值,又需求角的一个三角函数值.解:建立如图所示的直角坐标系,AO 为镜框边,AB 为画的宽度,O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知:A、B 两点坐标分别为(acosα,asinα)、(bcosα,bsinα),于是直线 AC、BC 的斜率分别为:kAC=tanxCA=xaacossin,.cossintanxbbxCBkBC于是 tanACB=ACBCACBCkkkk1cos)(sin)(cos)(sin)(2baxxabbaxxbaabxba由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤cos)(2sin)(baabba,当且仅当 xab=x,即 x=ab 时,等号成立,此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C(ab ,0),因此,学生距离镜框下缘ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳.[例 2]预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌...