2011 高三理科班数学附加题速成教材 2（一）基础知识 矩 阵1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。由 4 个元素 a,b,c,d 排成的正方形数表称为二阶矩阵。2. 二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵 A=，与向量的乘积为=；①数乘平面向量：设， 是任意一个实数，则；.②平面向量的加法：设，，则③数乘结合律：；分配律：； ④二阶行矩乘法=；⑤复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）：；如：已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转 90°．分别求两次变换所对应的矩阵 M1，M2；求点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．解 M＝M2 M1＝ ＝ ．C 坐标是(1，2)．说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序 M2 M1． 3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得＝＝ ，（ 是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作 A-1。提醒：证明逆矩阵必须全面，ＡＢ＝ＢＡ＝E。如：给定矩阵 M=，N=及向量 e1=，e2=．（Ⅰ）证明 M 和 N 互为逆矩阵；（Ⅱ）证明 e1和 e2都是 M 特征向量．4. 特 征 值 和 特 征 向 量 ：, 存 在和 非 零 向 量满 足=， 即=， ，则=0。设称为特征多项式，则叫 A 的一个特征值，叫特征向量。用特征值和特征向量定义求二阶矩阵的方法：如：已知二阶矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向量用心 爱心 专心1为，属于特征值 3 的一个特征向量为，求矩阵 A．解 设 A=，由题知=，=3．所以 A=． 5.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在作用下均保持不变，称为恒等变换阵。(2) 伸压变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，这样的几何变换为伸缩变换；向量在矩阵的作用下变换为向量，也就是矩阵把平面上的点变换为横坐标不变，纵坐标为原来的 2 倍的点；从几何直观上看即把一个几何图形保持 x 轴方向不变，而沿y 轴方向拉长为原来的 2 倍的变换。(3) 反射变换：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 对称点 P’的线性变换...
