8.4 直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线 y2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线 C：x2－=1，过点 P（1，1）作直线 l，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线 x2－y2＝1 的左焦点为 F，点 P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线 PF的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点 F（1，0）.设过焦点 F（1，0）的直线为 y=k（x－1）（k≠0），A（x1 ，y1 ），B（x2，y2）.代入抛物线方程消去 y 得 k2x2－2（k2+2）x+k2=0. k2≠0，∴x1+x2=，x1x2=1. |AB|====8，∴k2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为 x==2.答案：215.已知（4，2）是直线 l 被椭圆+=1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是____________.解析：设直线 l 与椭圆交于 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将 P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率 k==－= －=－.由点斜式可得 l 的方程为 x+2y－8=0.答案：x+2y－8=0●典例剖析【例 1】 已知直线 l：y=tanα（x+2）交椭圆 x2+9y2=9 于 A、B 两点，若 α 为 l 的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求 α 的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将 l 方程与椭圆方程联立，消去 y，得（1+9tan2α）x2+36tan2α·x+72tan2α－9=0，∴|AB|=|x2－x1|=·=.由|AB|≥2，得 tan2α≤，∴－≤tanα≤.∴α 的取值范围是［0，）∪［，π）.评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于...
