8.5 轨迹问题●知识梳理本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点 P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点 Q 与点 P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助点 P 的轨迹可以得到点 Q 的轨迹；（4）参数法.●点击双基1.动点 P 到直线 x=1 的距离与它到点 A（4，0）的距离之比为 2，则 P 点的轨迹是A.中心在原点的椭圆B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线D.中心在（5，0）的双曲线解析：直接法.答案：B2.（2005 年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为 F1（－，0）、F2（，0），P 是此双曲线上的一点，且 PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是A.－=1 B.－=1C.－y2=1 D.x2－=1解析：设双曲线的方程为－=1.由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2.又 |PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1.故双曲线方程为－y2=1.答案：C3.已知 A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是A.y2－＝1（y≤－1） B.y2－＝1C.y2－＝－1 D.x2－＝1解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故 F 点的轨迹是以 A、B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线下支.又 c=7，a=1，b2＝48，所以轨迹方程为 y2－＝1（y≤－1）.答案：A14.F1、F2为椭圆+=1 的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点 F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的轨迹方程是________________.解析：延长 F1D 与 F2A 交于 B，连结 DO，可知 DO=F2B=2，∴动点 D 的轨迹方程为 x2+y2=4.答案：x2+y2=45.已知△ABC 中，B（1，0）、C（5，0），点 A 在 x 轴上方移动，且 tanB+tanC=3，则 △ABC 的重心 G 的轨迹方程为________________.解析：设 A（x0，y0）， tanB+tanC=3，∴－=3，点 A 的轨迹方程为 y0=－（x02－6x0+5）（x0≠1 且 x0≠5）.若 G（x，y）为△ABC 的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，∴x0=3x－6，且 y0=3y.代入 A点轨迹方程得 G 的轨迹方程为 y－1=－（x－3）2（x≠且 x≠）.答案：y－1=－（x－3）2（x≠且 x≠）●典例剖析【例 1】 在△PMN 中，tan...
