9.9 空间距离●知识梳理1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距离（1）点面距离的向量公式平面 α 的法向量为 n，点 P 是平面 α 外一点，点 M 为平面 α 内任意一点，则点 P 到平面α 的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=.（2）线面、面面距离的向量公式平面 α∥直线 l，平面 α 的法向量为 n，点 M∈α、P∈l，平面 α 与直线 l 间的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=.平面 α∥β，平面 α 的法向量为 n，点 M∈α、P∈β，平面 α 与平面 β 的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=.（3）异面直线的距离的向量公式设向量 n 与两异面直线 a、b 都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线 a、b 间的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=.●点击双基1.ABCD 是边长为 2 的正方形，以 BD 为棱把它折成直二面角 A—BD—C，E 是 CD 的中点，则异面直线 AE、BC 的距离为A. B. C. D.1解析：易证 CE 是异面直线 AE 与 BC 的公垂线段，其长为所求.易证 CE=1.∴选 D.答案：D2.在△ABC 中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC 所在平面 α 外一点 P 到 A、B、C 的距离都是14，则 P 到 α 的距离是 A.13B.11C.9D.7解析：作 PO⊥α 于点 O，连结 OA、OB、OC， PA=PB=PC，∴OA=OB=OC.∴O 是△ABC 的外心.∴OA===5.∴PO==11 为所求.∴选 B.答案：B3.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面 MBD 的距离是A. aB. aC. aD. a1解析：A 到面 MBD 的距离由等积变形可得.VA—MBD=VB—AMD.易求 d=a.答案：D4.A、B 是直线 l 上的两点，AB=4，AC⊥l 于 A，BD⊥l 于 B，AC=BD=3，又 AC 与 BD 成 60°的角，则 C、D 两点间的距离是_______.解析：CD=.答案：5 或5.设 PA⊥Rt△ABC 所在的平面 α，∠BAC=90°，PB、PC 分别与 α 成 45°和 30°角，PA=2，则 PA 与 BC 的距离是_____________；点 P 到 BC 的距离是_____________.解析：作 AD⊥BC 于点 D， PA⊥面 ABC，∴PA⊥AD.∴AD 是 PA 与 BC 的公垂线.易得AB=2...
