9 空间距离●知识梳理1
点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离
直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离
两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离
两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离
借助向量求距离（1）点面距离的向量公式平面 α 的法向量为 n，点 P 是平面 α 外一点，点 M 为平面 α 内任意一点，则点 P 到平面α 的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=
（2）线面、面面距离的向量公式平面 α∥直线 l，平面 α 的法向量为 n，点 M∈α、P∈l，平面 α 与直线 l 间的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=
平面 α∥β，平面 α 的法向量为 n，点 M∈α、P∈β，平面 α 与平面 β 的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=
（3）异面直线的距离的向量公式设向量 n 与两异面直线 a、b 都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线 a、b 间的距离 d 就是在向量 n 方向射影的绝对值，即 d=
●点击双基1
ABCD 是边长为 2 的正方形，以 BD 为棱把它折成直二面角 A—BD—C，E 是 CD 的中点，则异面直线 AE、BC 的距离为A
1解析：易证 CE 是异面直线 AE 与 BC 的公垂线段，其长为所求
易证 CE=1
在△ABC 中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC 所在平面 α 外一点 P 到 A、B、C 的距离都是14，则 P 到 α 的距离是 A
7解析：作 PO⊥α 于点 O，连结 OA、OB、OC， PA=PB=PC，∴OA=OB=OC
∴O 是△ABC 的外心
∴OA===5
∴PO==11 为所求
