2012-2013学年高中数学 1.2.3等差数列的前n项和2学案 北师大版必修5

第 3 课时 等差数列的前 n 项和思路方法技巧命题方向 有关等差数列的基本量的运算［例 1］ 已知等差数列{an}中，（1）a1=,d=-,Sn=-15,求 n 和 an;（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差 d.［分析］ a1,d,n 称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这三个基本量表示，五个基本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.［解析］ (1) Sn=n·+·（-）=-15，整理，得 n2-7n-60=0.解之得 n=12 或 n=-5(舍去).∴a12=+ (12-1)×（-）=-4.(2)由 Sn===-1022,解之得 n=4.又由 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解之得 d=-171.［说明］ 等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前 n 项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.变式应用 1 在等差数列｛an｝中，（1）已知 a6=10,S5=5,求 a8和 S8;（2）已知 a3+a15=40,求 S17.［解析］ （1） a6=10,S5=5, a1+5d=10 a1=-5∴ ，解得 . 5a1+10d=5 d=3∴a8=a6+2d=16,S8==44.(2) a1+a17=a3+a15,∴S17===＝340.命题方向 等差数列前 n 项和的性质［例 2］ 一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和.［分析］ 解答本题可利用前 n 项和公式求出 a1和 d,即可求出 S110,或利用等差数列前 n 项和的性质求解.［解析］ 方法一：设等差数列｛an｝的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则用心 爱心 专心1Sn=na1+d. 10a1+d=100 ①由已知得 100a1+d=10 ②①×10－②，整理得 d=-,代入①，得 a1=.∴S110=110a1+d=110×+×（-）=110（）＝－110.故此数列的前 110 项之和为－110．方法二：数列 S10,S20-S10,S30-S20,…，S100-S90,S110-S100成等差数列，设其公差为 D，前 10 项和10S10+×D=S100=10D=-22，∴S110-S100=S10+（11-1）D=100+10×（-22）=-120.∴S110=-120+S100=-110.方法三：设 Sn=an2+bn. S10=100,S100=10, 102a+10b=100 a=-∴ ， .1002a+100b=10 b=∴Sn=-n2+n.∴S110=-×1102+×110=-110.方法四： S100-S10=a11+a12+…+a100==.又 S100-S10=10-100=-90,∴a1+a110=-2.∴S110==-110.用心 爱心 专心2方法五：在等差数列中，因为点（n, ）共线，所以（10，）,（100，）,（110，）三点共线，故＝即＝∴=10+×(-10)=-1∴S110=-110.［说明］ 比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前...