3.4.1 基本不等式的证明（2）教学目标：一、知识与技能1．进一步掌握基本不等式；2．学会推导并掌握均值不等式定理；3．会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同．4．使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用．二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点：均值不等式定理的证明及应用．教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧．教学方法：先让学生回顾两个重要不等式，然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值定理（其证明可由学生完成），然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值，并让学生从中体味出如何创设情境用定理．教学过程：一、问题情境提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是什么，“等号”成立的条件是什么？学生回答：1．如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba12．如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当baabba老师总结：我 们 称baba,2为的 算 术 平 均 数 ， 称baab,为的 几 何 平 均 数 ，abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数．二、学生活动提问：问题 1：已知yx,都是正数，若，那么有无最大值，若有求出最大值（允许学生交流）．生答：有，最大值为 4．问题 2：如何求出最大值的呢，何时取到最大值的．生答：，当且仅当时取“＝”．问题 3：如果将问题 1 中条件改为，那么有无最值呢？生答：有最小值 4．当且仅当时取到．问题 4：请同学们分组讨论能否由问题 1 及问题 3 推广至更一般的结论出来，学生讨论完后，在学生回答的基础上得出以下最值定理．三、建构数学最值定理：已知yx,都是正数， ①如果积 xy 是定值 p ，那么当yx 时，和yx 有最小值p2；②如果和yx 是定值 s ，那么当yx 时，积 xy 有最大值241 s ．证明： Ryx,， ∴ xyyx2，① 当 xyp (定值)时，pyx2 ∴yx p2， 上式当yx 时取“”， ∴当yx 时有min)(yxp2；2② 当syx (定值)时，2sxy ∴241...
