柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式（一）教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2. 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 证法：（比较法）=….=二、讲授新课：1. 柯西不 等式：① 提出定理 1 ：若 a、b、c、d 为实数，则 → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） . （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量，，则， .∵ ，且，则. ∴ ….. 证法四：（函数法）设，则≥0 恒成立.∴ ≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或.④ 提出定理 2：设是两个向量，则. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）⑤ 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证. 证法：（分析法）平方 →应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：1① 出示定理 3：设，则.分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 三、应用举例：例 1：已知 a,b 为实数，求证说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函数的定义域为【1，5】，且 y>0 当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)22.求函数的最大值.例 3.设 a,b 是正实数，a+b=1，求证分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。四、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知 x+2y=1, 求 x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37 页，4，5， 7，8，9 2
