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2013年高中数学 第四讲 4.3用数学归纳法证明不等式(一)暑期备课教案 新人教A版选修4-5

2013年高中数学 第四讲 4.3用数学归纳法证明不等式(一)暑期备课教案 新人教A版选修4-5_第1页
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用数学归纳法证明不等式(一)教学目标:1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,2、理解数学归纳法的操作步骤,3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点:理解经典不等式的证明思路.教学过程:一、复习准备:1. 求证:.2. 求证:.二、讲授新课:1、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法,以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P(n).(1)证明当 n 取第一个值 n0时,结论正确,即验证 P(n0)正确;(2)假设 n=k(k∈N 且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时,结论也正确,即由 P(k)正确推出P(k+1)正确,根据(1),(2),就可以判定命题 P(n)对于从 n0开始的所有自然数 n 都正确.在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点:(1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征;(2)瞄准当 n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析;(3)活用起点的位置;(4)有的试题需要先作等价变换。三、应用举例:例 1:比较与的大小,试证明你的结论 分析:试值 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明→ 要点:…. 证明:(略)小结反思:试值→猜想→证明1巩固练习 1:已知数列的各项为正数,Sn为前 n 项和,且,归纳出 an的公式并证明你的结 论. 解题要点提示:试值 n=1,2,3,4, → 猜想 a n → 数学归纳法证明例 2:证明不等式. 要点: 证明:(略)例 3:证明贝努利不等式. 分析:贝努力不等式中涉及到两个字母, 表示大于-1 且不等于 0 的任意实数, 是大于1 的自然数,用数学归纳法只能对进行归纳巩固练习 2:试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时,均有 an+cn>2bn.解答要点:当 a、b、c 为等比数列时,设 a=, c=bq (q>0 且 q≠1). ∴ an+cn=….当 a、b、c 为等差数列时,有 2b=a+c,则需证>()n (n≥2 且 n∈N*).…. 当 n=k+1 时,(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)>()k·()=()k+1 .3. 小结反思:应用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式;技巧:凑配、放缩四、巩固练习:1. 用数学归纳法证明: .2. 已知.五、课堂小结:六、布置作业:教材 P53 3、5、8 题. 2

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