第 3 讲 平面向量的数量积【2013 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a与 b 的夹角，当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；如果 a 与 b 的夹角是90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的数量积．4．向量数量积的性质设 a、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；(4)cos θ＝；(5)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为 θ，则(1)a·b＝x1x2＋ y 1y2；(2)|a|＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.17．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若 a·b＞0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？(2)若 a·b＜0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？三个防范(1)若 a，b，c 是实数，则 ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b，c若满足 a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有 b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，a(b·c)表示一个与 a 共线的向量...
