17.1 不等式选讲考情分析1．考查含绝对值不等式的解法．2．考查有关不等式的证明．3．利用不等式的性质求最值．基础知识1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f ( x ) ＞ a 或 f ( x ) ＜－ a ； (2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－ a ＜ f ( x ) ＜ a ；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质| a | － | b | ≤|a±b|≤| a | ＋ | b | .3．基本不等式定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理 2：如果 a、b 为正数，则≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．定理3：如果 a、b、c 为正数，则≥，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．定理 4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果 a1、a2、…、an为 n 个正数，则≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．题型一 含绝对值不等式的解法【例 1】设函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式 f(x)＞2；(2)求函数 y＝f(x)的最小值．解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝当 x＜－时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7；当－≤x＜4 时，由 f(x)＝3x－3＞2，得 x＞，∴＜x＜4；当 x≥4 时，由 f(x)＝x＋5＞2，得 x＞－3，∴x≥4.故原不等式的解集为.(2)画出 f(x)的图象如图：∴f(x)min＝－.【变式 1】 设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若 a＝－1，解不等式 f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求 a 的取值范围．解 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，f(x)＝作出函数 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．由图象可知，不等式的解集为. (2)若 a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若 a＜1，f(x)＝f(x)的最小值为 1－a.若 a＞1，f(x)＝f(x)的最小值为 a－1.∴对于∀x∈R，f(x)≥2 的充要条件是|a－1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．题型二 不等式的证明【例 2】证明下列不等式：(1)设 a≥b＞0，求证：3a3＋2b 3≥3a2b＋2ab2；(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；(3)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.证明 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2 (a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)． a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2＞0.∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.∴3a2＋2b3≥3a2b＋2ab2.(2) a2＋4b2≥2＝4ab，a2＋9c2≥2...
