2.2 函数的单调性典例精析题型一 函数单调性的判断和证明【例 1】讨论函数 f(x)＝ (a≠)在(－2，＋∞)上的单调性.【解析】设 x1，x2 为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝，因为 x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且 x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.所以当 a＜时，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)，函数 f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当 a＞时，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)，函数 f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意 x1，x2 在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断.【变式训练 1】已知函数 f(x)满足 f(π＋x)＝f(π－x)，且当 x∈(0，π)时，f(x)＝x＋cos x，则 f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是( )A. f (2)＜f (3)＜f (4)B. f (2)＜f (4)＜f (3)C. f (4)＜f (3)＜f (2)D. f (3)＜f (4)＜f (2)【解析】B.题型二 函数单调区间的求法【例 2】试求出下列函数的单调区间.(1)y＝|x－1|；(2)y＝x2＋2|x－1|；(3)y＝3422xx.【解析】(1)y＝|x－1|＝.1,1,1,1xxxx所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).(2)y＝x2＋2|x－1|＝ .1,22,1,2222xxxxxx所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).(3)由于 t＝－x2＋4x－3 的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于 1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.【变式训练 2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当 a≥b 时，a b＝a；当 a＜b 时，a b＝b2.则函数 f (x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2,2]的最大值是( )A.－1B.6C.1D.12【解析】B.题型三 函数单调性的应用【例 3】已知函数 f(x)的定义域为[－1,1]，且对于任意的 x1，x2∈[－1,1]，当 x1≠x2 时，都1有＞0.(1)试判断函数 f(x)在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式 f(5x－1)＜f(6x2).【解析】(1)当 x1，x2∈[－1,1]，且 x1＜x2 时，由＞0，得 f(x1)＜f(x2)，所以函数 f(x)在区间[－1,1]上是增函数.(2)因为 f(x)在[－1,1]上是增函数.所以由 f(5x－1)＜f(6x2)知，所以 0≤x＜，所求不等式的解集为{x|0≤x＜}.【点拨】抽象函数的单调...
