2 函数的单调性典例精析题型一 函数单调性的判断和证明【例 1】讨论函数 f(x)＝ (a≠)在(－2，＋∞)上的单调性
【解析】设 x1，x2 为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－＝，因为 x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且 x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0
所以当 a＜时，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)，函数 f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当 a＞时，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)，函数 f(x)在(－2，＋∞)上是增函数
【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意 x1，x2 在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断
【变式训练 1】已知函数 f(x)满足 f(π＋x)＝f(π－x)，且当 x∈(0，π)时，f(x)＝x＋cos x，则 f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是( )A
f (2)＜f (3)＜f (4)B
f (2)＜f (4)＜f (3)C
f (4)＜f (3)＜f (2)D
f (3)＜f (4)＜f (2)【解析】B
题型二 函数单调区间的求法【例 2】试求出下列函数的单调区间
(1)y＝|x－1|；(2)y＝x2＋2|x－1|；(3)y＝3422xx
【解析】(1)y＝|x－1|＝
1,1,1,1xxxx所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)
(2)y＝x2＋2|x－1|＝
1,22,1,2222xxxxxx所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)
(3)由于 t＝－x2＋4x－3 的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于 1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)
