2.8 函数与方程典例精析题型一 确定函数零点所在的区间【例 1】已知函数 f(x)＝x＋log2x，问方程 f(x)＝0 在区间[，4]上有没有实根，为什么？【解析】因为 f ()＝＋log2＝－2＝－＜0，f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f() f(4)＜0，又 f(x)＝x＋log2x 在区间[，4]是连续的，所以函数 f(x)在区间[，4]上有零点，即存在 c∈[，4]，使 f(c)＝0，所以方程 f(x)＝0 在区间[，4]上有实根.【点拨】判断函数 f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：①函数 f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；② f(a) f(b)＜0.【变式训练 1】若 x0 是函数 f(x)＝x＋2x－8 的一个零点，则[x0](表示不超过 x0 的最大整数)＝ .【解析】因为函数 f(x)＝x＋2x－8 在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数 f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点 x0，所以[x0]＝2.题型二 判断函数零点的个数【例 2】判断下列函数的零点个数.(1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)；(2)f(x)＝x－4＋log2x.【解析】(1)由 Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知 f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0 有两个不同的零点.(2)因为函数 f(x)＝x－4＋log2x 在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且 f(2) f(3)＜0，所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点.【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法：(1)方程 f(x)＝0 的根的个数即为函数 f(x)的零点个数；(2)函数 f(x)与 x 轴的交点个数，即为函数 f(x)的零点个数；特殊情况下，还可以将方程 f(x)＝0 化为方程 g(x)＝h(x)，然后再看函数 y＝g(x)与 y＝h(x)的交点个数.【变式训练 2】问 a 为何值时，函数 f(x)＝x3－3x＋a 有三个零点，二个零点，一个零点？【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得 x1＝1，x2＝－1，此时 f(x)有极大值 f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a.由图象(图略)得知：当－2＜a＜2 时，函数 f(x)有三个零点；当 a＝－2 或 a＝2 时，函数 f(x)有两个零点；当 a＜－2 或 a＞2 时，函数 f(x)有一个零点.题型三 利用导数工具研究函数零点问题【例 3】设函数 f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)关于 x 的方程 f(x)＝a2 在[－3,2]上有三个相异的零点，求 a 的取值范围.【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4.由 f′(x)＞0，得 x＜－2 或 x＞；由 f′(x)＜0，得－2＜x＜.故 f(x)的递增区间为(－∞，－2)、...
