5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例 1】已知函数 f(x)＝2sin cos ＋cos .(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)令 g(x)＝f(x＋)，判断 g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)＝2sin cos ＋cos ＝sin ＋cos ＝2sin(＋)，所以 f(x)的最小正周期 T＝＝4π.(2)g(x)＝f(x＋)＝2sin[(x＋)＋]＝2sin(＋)＝2cos .所以 g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练 1】函数 y＝sin2x＋sin xcos x 的最小正周期 T 等于( )A.2π B.π C. D.【解析】y＝＋sin 2x＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin(2x－)＋，所以 T＝＝π.故选 B.题型二 求函数的值域【例 2】求下列函数的值域：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝2cos(＋x)＋2cos x.【解析】(1)f(x)＝＝＝2cos2x＋2cos x＝2(cos x＋)2－，当 cos x＝1 时，f(x)max＝4，但 cos x≠1，所以 f(x)＜4，当 cos x＝－时，f(x)min＝－，所以函数的值域为[－，4).(2)f(x)＝2(cos cos x－sin sin x)＋2cos x＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)，所以函数的值域为[－2，2].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练 2】求 y＝sin x＋cos x＋sin xcos x 的值域.【解析】令 t＝sin x＋cos x，则有 t2＝1＋2sin xcos x，即 sin xcos x＝.所以 y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.又 t＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，所以－≤t≤.故 y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)，从而 f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋.所以函数的值域为[－1，＋].题型三 三角函数的单调性【例 3】已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求 ω，φ 的值；1(2)设 g(x)＝f(x)f(x－)，求函数 g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T＝4(－)＝π，ω＝＝2.又由 f()＝1 知，sin(π＋φ)＝1，又 f(0)＝－1，所以 sin φ＝－1.因为|φ|＜π，所以 φ＝－.(2)f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x.所以 g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－)]＝cos 2xsin 2x＝sin 4x.所以当 2kπ－≤4x≤2kπ＋，即－≤x≤＋(k∈Z)时 g(x)单调递增.故函数 g(x)的单调增区间为[－，＋](k∈Z).【点拨】观察图象，获得 T 的值，然后再确定 φ 的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练 3】使函数 y＝sin(－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，] B.[，]C.[，] D.[，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选 C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.2
