8 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例 1】如图，ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地
一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在上，相邻两边 CQ、CR 分别落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值
【解析】如图，连接 AP，过 P 作 PM⊥AB 于 M
设∠PAM＝α，0≤α≤，则 PM＝90sin α，AM＝90cos α，所以 PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，于是 S 四边形 PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos α)(100－90sin α) ＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000
设 t＝sin α＋cos α，则 1≤t≤，sin αcos α＝
S 四边形 PQCR＝8 100·－9 000t＋10 000＝4 050(t－)2＋950 (1≤t≤)
当 t＝时，(S 四边形 PQCR)max＝14 050－9 000 m2；当 t＝时，(S 四边形 PQCR)min＝950 m2
【点拨】同时含有 sin θcos θ，sin θ±cos θ 的函数求最值时，可设 sin θ±cos θ＝t，把 sin θcos θ 用 t 表示，从而把问题转化成关于 t 的二次函数的最值问题
注意 t 的取值范围
【变式训练 1】若 0＜x＜，则 4x 与 sin 3x 的大小关系是( )A
4x＞sin 3xB
4x＜sin 3xC
4x≥sin 3xD
与 x 的值有关【解析】令 f(x)＝4x－sin 3x，则 f′(x)＝4－3cos 3x
因为 f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)为增函数
又 0＜x＜
