5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例 1】如图，ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在上，相邻两边 CQ、CR 分别落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接 AP，过 P 作 PM⊥AB 于 M.设∠PAM＝α，0≤α≤，则 PM＝90sin α，AM＝90cos α，所以 PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，于是 S 四边形 PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos α)(100－90sin α) ＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.设 t＝sin α＋cos α，则 1≤t≤，sin αcos α＝.S 四边形 PQCR＝8 100·－9 000t＋10 000＝4 050(t－)2＋950 (1≤t≤).当 t＝时，(S 四边形 PQCR)max＝14 050－9 000 m2；当 t＝时，(S 四边形 PQCR)min＝950 m2.【点拨】同时含有 sin θcos θ，sin θ±cos θ 的函数求最值时，可设 sin θ±cos θ＝t，把 sin θcos θ 用 t 表示，从而把问题转化成关于 t 的二次函数的最值问题.注意 t 的取值范围.【变式训练 1】若 0＜x＜，则 4x 与 sin 3x 的大小关系是( )A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3xC.4x≥sin 3xD.与 x 的值有关【解析】令 f(x)＝4x－sin 3x，则 f′(x)＝4－3cos 3x.因为 f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)为增函数.又 0＜x＜，所以 f(x)＞f(0)＝0，即得 4x－sin 3x＞0.所以 4x＞sin 3x.故选A.题型二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作 y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数 y＝Acos ωt＋b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期 T＝12，所以 ω＝＝＝.由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5，由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0，所以 A＝0.5，b＝1，所以振幅为.所以 y＝cos t＋1.(2)由题知，当 y＞1 时才可对冲浪者开放，所以...
