4 基本不等式及应用典例精析题型一 利用基本不等式比较 大小【例 1】(1)设 x，y∈R＋，且 xy－(x＋y)＝1，则( )A
x＋y≥2(＋1) B
x＋y≤2(＋1)C
x＋y≤2(＋1)2 D
x＋y≥(＋1)2(2)已知 a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是
【解析】(1)选 A
由已知得 xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y)
解得 x＋y≥2(＋1)或 x＋y≤2(1－)
因为 x＋y＞0，所以 x＋y≥2(＋1)
(2)由≥有 a＋b≥2，即 a＋b≥，所以≥
又＝≤，所以≥，所以≥≥≥
【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用
【变式训练 1】设 a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则 λ 的取值范围是
【解析】(－∞，4)
因为 a＞b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0
而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以 λ＜4
题型二 利用基本不等式求最值【例 2】(1)已知 x＜，则函数 y＝4x－2＋的最大值为 ；(2)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的导数 f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数 x，有 f(x)≥0，则的最小值为( )A
【解析】(1)因为 x＜，所以 5－4x＞0
所以 y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1
当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时，等号成立
所以 x＝1 时，ymax＝1
(2)选 C
因为 f(x)≥0，所以
0402acbΔa所以 c≥
又 f′(x)＝2ax＋b，所以 f′(0)＝b＞0，＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，当且仅当 c＝且 4a2＝b2 时等号成立
【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误
