7.5 不等式的综合应用典例精析题型一 含参数的不等式问题【例 1】若不等式组 05)25(2,0222kxkxxx的解集中所含整数解只有－2，求 k 的取值范围.【解析】由 x2－x－2＞0 有 x＜－1 或 x＞2，由 2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0 有(2x＋5)(x＋k)＜0.因为－2 是原不等式组的解，所以 k＜2.由(2x＋5)(x＋k)＜0 有－＜x＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故 k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练 1】不等式(－1)na＜2＋对任意 n∈N*恒成立，求实数 a 的取值范围.【解析】当 n 为奇数时，－a＜2＋，即 a＞－(2＋).而－(2＋)＜－2，则 a≥－2；当 n 为偶数时，a＜2－，而 2－≥2－＝，所以 a＜.综上可得－2≤a＜.【点拨】不等式中出 现了(－1)n 的时候，常常分 n 为 奇数和偶数进行分类讨论.题型二 不等式在函数中的应用【例 2】已知函数 f(x)＝在区间[－1,1]上是增函数.(1)求实数 a 的值组成的集合 A；(2)设 x1，x2 是关于 x 的方程 f(x)＝的两个相异实根，若对任意 a∈A 及 t∈[－1,1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数 m 的取值范围.【解析】(1)f′(x)＝，因为 f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当 x∈[－1,1]时，f′(x)≥0 恒成立，令 φ(x)＝x2－ax－2，即 x2－ax－2≤0 恒成立.所以 A＝{a|－1≤a≤1}.(2)由 f(x)＝得 x2－ax－2＝0.设 x1，x2 是方程 x2－ax－2＝0 的两个根，所以 x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝＝，因为 a∈[－1,1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3.不等式对任意 a∈A 及 t∈[－1,1]不等式恒成立，即 m2＋tm－2≥0 恒成立.设 g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则解得 m≥2 或 m≤－2.故 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合1更加简单明了.【变式训练 2】设 a，b＞0，且 ab＝1，不等式＋≤λ 恒成立，则 λ 的取值范围是 .【解析】[1，＋∞).因为 ab＝1，所以＋＝≤＝1，所以 λ≥1.题型三 不等式在实际问题中的应用【例 3】某森林出现火灾，火势正以 100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后 5...
