8.3 圆的方程典例精析题型一 求圆的方程【例 1】求经过两点 A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－，－)，由已知得,02,02349,04161DFEDFED即,0,1323,174DFEDFED 解得 D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为 x2＋y2－2y－9＝0.方法二：经过 A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段 AB 的垂直平分线上，AB 的垂直平分线方程为 y－3＝2(x－1)，即 y＝2x＋1.令 x＝0，y＝1，圆心为(0,1)，r＝＝ ，圆的方程为 x2＋(y－1)2＝10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出 a、b、r 或 D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练 1】已知一圆过 P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4，求圆的方程.【解析】设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将 P、Q 两点的坐标分别代入①得③② ,103 ,2024FEDFED令 x＝0，由①得 y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝4，其中 y1、y2 是方程④的两根.所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤解②、③、⑤组成的方程组， 得D＝－2，E＝0，F＝－12 或 D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y＋4＝ 0.题型二 与圆有关的最值问题【例 2】若实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x 的最小值；(3)(x－4)2＋(y－3)2 的最大值和最小值.【解析】(1)＝，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设＝k，y＝kx，kx－y＝0.由＝，得 k＝±，所以的最大值为，的最小值 为－.(2)令 x－2＝cos α，y＝sin α，α∈[0,2π).所以 y－x＝sin α－cos α－2＝sin(α－)－2，当 sin(α－)＝－1 时，y－x 的最小值为－－2.(3)(x－4)2＋(y－3)2 是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为 A(2,0)，B(4,3)，1连接 AB 交圆于 C，延长 BA 交圆于 D.|AB|＝＝，则|BC|＝－，|BD|＝＋，所以(x－4)2＋(y－3)2 的最大值为(＋)2，最小值为(－)2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如 U＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化...
