8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一 直线与圆的位置关系的判断【例 1】已知圆的方程 x2＋y2＝2，直线 y＝x＋b，当 b 为何值时，(1)直线与圆有两个公共点；(2)直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：(几何法)设圆心 O(0,0)到直线 y＝x＋b 的距离为 d，d＝＝，半径 r＝.当 d＜r 时，直线与圆相交，＜，－2＜b＜2，所以当－2＜b＜2 时，直线与圆有两个公共点.当 d＝r 时，直线与圆相切， ＝，b＝±2，所以当 b＝±2 时，直线与圆只有一个公共点.方法二：(代数法)联立两个方程得方程组 ,,222bxyyx消去 y 得 2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.当 Δ＞0，即－2＜b＜2 时，有两个公共点；当 Δ＝0，即 b＝±2 时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练 1】圆 2x2＋2y2＝1 与直线 xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交 D.不能确定【解析】选 A.易知圆的半径 r＝，设圆心到直线的距离为 d，则 d＝.因为 θ≠＋kπ，k∈Z.所以 0≤sin2θ＜1，所以＜d≤1，即 d＞r，所以直线与圆相离.题型二 圆与圆的位置关系的应用【例 2】如果圆 C：(x－a)2＋(y－a)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，求实数 a 的取值范围.【解析】到原点的距离等于 1 的点在单位圆 O：x2＋y2＝1 上.当圆 C 与圆 O 有两个公共点时，符合题意，故应满足 2－1＜|OC|＜2＋1，所以 1＜＜3，即＜|a|＜，所以－＜a＜－或＜a＜为所求 a 的范围.【变式训练 2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2 和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2 相交于 P，Q 两点 ，若点P 的坐标为(1,2)，则点 Q 的坐标为 .【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为＝，即 y＝－x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由 P(1,2)可得它关于直线 y＝－x 的对称点，即点 Q 的坐标为(－2，－1).题型三 圆的弦长、中点弦的问题【例 3】已知点 P(0,5)及圆 C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4，求 l 的方程；1(2)求圆 C 内过点 P 的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图，AB＝4，D 是 AB 的中点，则 AD...
