5 直线与圆的综合应用典例精析题型一 直线和圆的位置关系的应用【例 1】已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25 及直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)
(1)求证：不论 m 为何值，直线 l 恒过定点；(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系；(3)求直线 l 被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程
【解析】(1)证明：直线方程可写作 x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由方程组 ,072,04yxyx可得 ,1,3yx所以不论 m 取何值，直线 l 恒过定点(3,1)
(2)由＝＜5，故点(3,1)在圆内，即不论 m 取何值，直线 l 总与圆 C 相交
(3)由平面几何知识可知，当直线与过点 M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短
|AB|＝2＝2＝4，此时 k＝－，即－＝－＝2，解得 m＝－，代入原直线方程，得 l 的方程为 2x－y－5＝0
【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解
【变式训练 1】若函数 f(x)＝－eax 的图象在 x＝0 处的切线 l 与圆 C：x2＋y2＝1 相离，则P(a，b)与圆 C 的位置关系是( )A
不 能确定【解析】选 B
f(x)＝－eax⇒f′(x)＝－eax⇒f′(0)＝－
又 f(0)＝－，所以切线 l 的方程为 y＋＝－(x－0)，即 ax＋by＋1＝0，由 l 与圆 C：x2＋y2＝1 相离得＞1⇒＜1，即点 P(a，b)在圆内，故选 B
题型二 和圆有关的对称问题【例 2】设 O 为坐标原点，曲线 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 上有两点 P、Q 关于直线 x＋my＋4＝0对称，又满足OP ·OQ ＝0
(1)求 m 的值；(2)求直线 PQ 的方程
【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9
