8.5 直线与圆的综合应用典例精析题型一 直线和圆的位置关系的应用【例 1】已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25 及直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R).(1)求证：不论 m 为何值，直线 l 恒过定点；(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系；(3)求直线 l 被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】(1)证明：直线方程可写作 x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由方程组 ,072,04yxyx可得 ,1,3yx所以不论 m 取何值，直线 l 恒过定点(3,1).(2)由＝＜5，故点(3,1)在圆内，即不论 m 取何值，直线 l 总与圆 C 相交.(3)由平面几何知识可知，当直线与过点 M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短. |AB|＝2＝2＝4，此时 k＝－，即－＝－＝2，解得 m＝－，代入原直线方程，得 l 的方程为 2x－y－5＝0.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练 1】若函数 f(x)＝－eax 的图象在 x＝0 处的切线 l 与圆 C：x2＋y2＝1 相离，则P(a，b)与圆 C 的位置关系是( )A.在圆外B.在圆内C.在圆上D. 不 能确定【解析】选 B.f(x)＝－eax⇒f′(x)＝－eax⇒f′(0)＝－.又 f(0)＝－，所以切线 l 的方程为 y＋＝－(x－0)，即 ax＋by＋1＝0，由 l 与圆 C：x2＋y2＝1 相离得＞1⇒＜1，即点 P(a，b)在圆内，故选 B. 题型二 和圆有关的对称问题【例 2】设 O 为坐标原点，曲线 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 上有两点 P、Q 关于直线 x＋my＋4＝0对称，又满足OP ·OQ ＝0.(1)求 m 的值；(2)求直线 PQ 的方程.【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为 3 的圆.因为点 P，Q 在圆上且关于直线 x＋my＋4＝0 对称，所以圆心(－1,3)在直线 x＋my＋4＝0 上，代入得 m＝－1.(2)因为直线 PQ 与直线 y＝x＋4 垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线 PQ 的方程为 y＝－x＋b.将直线 y＝－x＋b 代入圆的方程，得 2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得 2－3＜b＜2＋3.x1＋x2＝b－4，x1x2＝，y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝，因为OP ·OQ ＝0，所以 x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，得 b＝1.故所求的直线方程为 y＝－x＋1.1【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置...
