12.8 离散型随机变量及其分布列典例精析题型一 离散型随机变量的分布列【例 1】设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3求：(1)2X＋1 的分布列；(2)|X－1|的分布列.【解析】首先列表如下：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列如下：2X＋1 的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3【点拨】由于 X 的不同的值，Y＝f(X)会取到相同的值，这时要考虑所有使 f(X)＝Y 成立的X1，X2，…，Xi 的值，则 P (Y)＝P(f(X))＝P(X1)＋P(X2)＋…＋P(Xi)，在第(2)小题中充分体现了这一点.【变式训练 1】 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其 中只有 A 到过渡区，B 肯定是受 A 感染的，对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是，同样也假定 D 受 A、B、C 感染的概率都为，在这种假定之下，B、C、D 中受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量，写出 X 分布列，并求均值.【解析】依题知 X 可取 1、2、3，P(X＝1)＝1×(1－)×(1－)＝，P(X＝2)＝1×(1－)×＋1××(1－)＝，P(X＝3)＝1××＝，所以 X 的分布列为X123P312161均值 E(X)＝1× 31＋2× 21＋3× 61＝ 611.题型二 两点分布【例 2】在掷一枚图钉的随机试验中，令 ξ＝ ,,0,,1针尖向下针尖向上如果针尖向上的概率为 p，试写出随机变量 ξ 的分布列.1【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率是 1－p.于是，随机变量的分布列是ξ01P1－pp【点拨】本题将两点分布与概率分布列的性质相结合，加深了两点分布的概念的理解.【变式训练 2】 若离散型随机变量 ξ＝ 成功失败,1,,0的分布列为：ξ01P9c2－c3－8c(1)求出 c；(2)ξ 是否服从两点分布？若是，成功概率是多少？【解析】(1)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得 c＝或.又 9c2－c≥0,3－8c≥0，所以 c＝.(2)是两点分布.成功概率为 3－8c＝.题型三 超几何分布【例 3】 有 10 件产品，其中 3 件次品，7 件正品，现从中抽取 5 件，求抽得次品数 X 的分布列.【解析】X 的所有可能取值为 0,1,2,3，X＝0 表示取出的 5 件产品全是正品，P(X＝0)＝＝＝；X＝1 表示取出的 5 件产品有 1 件次品 4 件正品，P(X＝1)＝＝＝；X＝2 表示取出的 5 件产品有 2 件次品 3 件正品，P(X＝2)＝＝＝；X＝3 表示取出的 5 件产品有 3 件...
