18.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例 1】设 a1，a2，…，an 都为正实数，证明：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.【证明】方法一：由柯西不等式，有(＋＋…＋＋)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥(·＋·＋…＋·)2＝(a1＋a2＋…＋an)2.不等式两边约去正数因式 a1＋a2＋…＋an 即得所证不等式.方法二：不妨设 a1≤a2≤…≤an，则 a≤a≤…≤a，≥≥…≥.由排序不等式有a·＋a·＋…＋a·＋a·≥a·＋a·＋…＋a·＝a1＋a2＋…＋an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…，＋a1≥2an，将这 n 个不等式相加得＋＋…＋＋＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所证不等式.【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练 1】已知 a＋b＋c＝1，且 a、b、c 是正数，求证：＋＋≥9.【证明】左边＝[2(a＋b＋c)](＋＋)＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2bacbcbba＋2baacacba＋2cbacaccb＝9)所以＋＋≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例 2】 若实数 x，y，z 满足 x＋2y＋3z＝2，求 x2＋y2＋z2 的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝4(当且仅当 1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合 x＋2y＋3z＝2，解得 x＝，y＝，z＝)，所以 14(x2＋y2＋z2)≥4.所以 x2＋y2＋z2≥.故 x2＋y2＋z2 的最小值为.【点拨】 根据柯西不等式，要求 x2＋y2＋z2 的最小值，就要给 x2＋y2＋z2 再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现 x＋2y＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练 2】已知 x2＋2y2＋3z2＝，求 3x＋2y＋z 的最小值.【解析】因为(x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋()2]≥(3x＋y·＋z·)2≥(3x＋2y＋z)2，所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2，当且仅当 x＝－，y＝－，z＝－时，3x＋2y＋z 取最小值，最小值为－2.1题型三 不等式综合证明与运用【例 3】 设 x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.【证明】(1)当 x≥1 时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排...
