2.4 等比数列学习过程知识点 1：等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q≠0），即：=q（q≠0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛｝成等比数列=q（,q≠0）2 隐含：任一项“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．3 q= 1 时，{an}为常数。知识点 2：等比数列的通项公式等比数列的通项公式 1: 由等比数列的定义，有：；；；… … … … … … … 奎屯王新敞新疆等比数列的通项公式 2: 知识点 3：等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G 为a 与 b 的等比中项. 即 G=±（a,b 同号）如果在 a与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，则，反之，若 G =ab,则，即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列G =ab（a·b≠0）学习结论1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数1列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q≠0），即：=q（q≠0）2．等比数列的通项公式等比数列的通项公式 1: 等比数列的通项公式 2: 3．等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项.典型例题例 1、已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．[ ]A．是等比数列B．当 p≠0 时是等比数列C．当 p≠0，p≠1 时是等比数列D．不是等比数列答案：D解析： 由 Sn＝pn(n∈N*)，有 a1=S1＝p，并且当 n≥2 时，an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1故－，因此数列成等比数列≠－ ≠a = (p1)p{a }p0p10(p1)p2nn 1()()ppp ppn212但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D．例 2、已知等比数列 1，x1，x2，…，x2n，2，求 x1·x2·x3·…·x2n．解析： ∵1，x1，x2，…，x2n，2 成等比数列，公比 q∴2＝1·q2n+1x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n= q2n(1+2n)2q nnn()212例 3、设a、b、c、d 成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一： ∵a、b、c、d 成等比数列∴ abbccd∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．2证法二： ∵a、b、c、d 成等比数列，设其公比为 q，则：b＝aq，c＝aq2，d= aq3∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq 3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．3
