直线与圆的位置关系(45分钟60分)1.(2016·开封模拟)如图,AB是☉O的直径,弦CA,BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F,连接FD.求证:(1)∠DEA=∠DFA.(2)AB2=BE·BD-AE·AC.【证明】(1)连接AD,因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠AFE=90°,则A,D,E,F四点共圆,所以∠DEA=∠DFA.(2)连接BC.由(1)知△ADB∽△EFB,所以=,即BD·BE=BA·BF,又△ABC∽△AEF,所以=,即AB·AF=AE·AC,所以BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB·(BF-AF)=AB2.【加固训练】(2015·广东高考改编)如图,AB为圆O的直径,点E为AB的延长线上一点,过点E作圆O的切线,切点为点C,过点A作直线EC的垂线,垂足为点D.若AB=4,CE=2,求AD的长度.【解析】连接ΟC,则ΟC⊥DE,因为AD⊥DE,所以ΟC∥AD,所以=,由切割线定理得:CE2=BE·AE,所以BE=12,即BE2+4BE-12=0,解得:BE=2或BE=-6(舍去),所以AD===3.2.(2016·安阳模拟)如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q,若AQ=6,AC=5.(1)求证:QC2-QA2=BC·QC.(2)求弦AB的长.【解析】(1)因为PQ与☉O相切于点A,由切割线定理得:QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,所以QC2-QA2=BC·QC.(2)由(1)可知,QA2=QB·QC=(QC-BC)QC.因为PQ与☉O相切于点A,所以∠PAC=∠CBA,因为∠PAC=∠BAC,所以∠BAC=∠CBA.所以AC=BC=5,又知AQ=6,所以QC=9.由∠QAB=∠ACQ知△QAB∽△QCA,所以=,所以AB=.3.(2016·临汾模拟)如图,CF是△ABC边AB上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.(1)证明:A,B,P,Q四点共圆.(2)若CQ=4,AQ=1,PF=,求CB的长.【解析】(1)连接QP,由已知C,P,F,Q四点共圆,所以∠QCF=∠QPF.因为∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°,所以∠A=∠CPQ.则四点A,B,P,Q共圆.(2)CF2=CQ×CA=4×5=20,在Rt△CPF中,CP===,又CP×CB=CF2,所以CB==6.【加固训练】(2016·遵义模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F,连接DE.(1)求证:A,E,F,D四点共圆.(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.【解析】(1)因为AE=AB,所以BE=AB.因为在正△ABC中,AD=AC,所以AD=BE.又因为AB=BC,∠BAD=∠CBE,所以△BAD△CBE,所以∠ADB=∠BEC.即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.(2)如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.因为AE=AB,所以AG=GE=AB=.因为AD=AC=,∠DAE=60°,所以△AGD为正三角形,所以GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=.所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.4.(2016·保定模拟)如图所示,已知☉O1与☉O2相交于A,B两点,过点A作☉O1的切线交☉O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交☉O1,☉O2于点D,E,DE与AC相交于点P.(1)求证:AD∥EC.(2)若AD是☉O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.【解析】(1)连接AB,因为AC是☉O1的切线,所以∠BAC=∠D,又因为∠BAC=∠E,所以∠D=∠E,所以AD∥EC.(2)因为PA是☉O1的切线,PD是☉O1的割线,所以PA2=PB·PD,所以62=PB·(PB+9),所以PB=3,在☉O2中由相交弦定理,得PA·PC=BP·PE,所以PE=4.因为AD是☉O2的切线,DE是☉O2的割线,所以AD2=DB·DE=9×16,所以AD=12.【加固训练】如图,AB是圆O的直径,且AB=6,CD是弦,BA,CD的延长线交于点P,PA=4,PD=5,求∠COD的大小.【解析】由割线定理得,PA·PB=PC·PD,因为PA=4,PD=5,所以4×10=5·PC,所以PC=8,所以CD=8-5=3,所以△CDO是等边三角形,所以∠COD=60°.5.(2016·郑州模拟)如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.求证:(1)BE=EC.(2)AD·DE=2PB2.【解析】(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而=.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.6.如图,点A是以线段BC为直径的☉O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作☉O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,连接AF并延长与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF.(2)求证:PA是☉O的切线.【证明】(1)因为BE是☉O的切线,所以EB⊥BC.又因为AD⊥BC,所以AD∥BE.可知△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,所以=...
