算术平均数与几何平均数（1）一．课题： 二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.三．教学重、难点：均值定理证明及运用.四．教学过程：（一）复习：1．用和号填空： （1）如果，那么 ；（2）如果，那么 ；（3）如果，那么 ；（4）如果，那么 ；（5）如果，那么 ．（二）新课讲解：．基本不等式：定理：如果，那么（当且仅当时取“”）．证明：，（当且仅当时取“”）．说明：（1）指出定理适用范围：；（2）强调取“”的条件．定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：∵， ∴，即： 当且仅当时 ．说明：（1）这个定理适用的范围：； （2）我们称的算术平均数，称的几何平均数即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2．的几何解释：（如图 1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径．例 1．已知为两两不相等的实数，求证：证明：∵为两两不相等的实数，∴，，，以上三式相加：所以，．例 2．已知都是正数，求证．证明：由都是正数，得： ，， ∴， 即．例 3．求证：． 证明：∵， 又， ∴，∴，即．五．课堂练习：已知都是正数，求证：．六．课堂小结：都是正数，的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？ABDDCab（图1 ） 七．作业：补充：1．已知都是正数，且，求证：；2．求证：；3．已知都是正数，求证：；4．已知都是正数，求证：（1）； （2）．5．已知且，，求证：．
