分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·东莞模拟)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步,由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法.2.(2016·三明模拟)设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有()A.6个B.8个C.12个D.16个【解析】选A.分三类,当n=1时,有m=2,3,4,共3个;当n=2时,有m=3,4,共2个;当n=3时,有m=4,共1个.由分类加法计数原理得共有3+2+1=6(个).【加固训练】(2016·漯河模拟)椭圆+=1的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为.【解析】以m的值为标准分类,分为五类.第1类:当m=1时,使n>m的n有6种选择;第2类:当m=2时,使n>m的n有5种选择;第3类:当m=3时,使n>m的n有4种选择;第4类:当m=4时,使n>m的n有3种选择;第5类:当m=5时,使n>m的n有2种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有20个.答案:203.(2016·开封模拟)甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()A.4种B.6种C.10种D.16种【解题提示】按甲先传给乙,先传给丙两种情况分类计数.【解析】选B.第一类:甲先传给乙,如图所示.,有3种传法.第二类:甲先传给丙时也有3种传法,由分类加法计数原理,共有3+3=6(种)传递方法.4.(2016·蚌埠模拟)集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21【解析】选B.当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个);当x≠2时,x=y,点的个数为7×1=7(个),则共有14个点.5.(2016·石家庄模拟)“如果一个三位正整数如a1a2a3”满足a1
a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920【解题提示】按a2取2,3,4,…,9分8类计数.【解析】选A.若a2=2,“”则凸数为120与121,共2个,若a2=3,“”则凸数有2×3=6(个),若a2=4,满足条件的“”凸数有3×4=12(个),…,若a2=9,“”满足条件的凸数有8×9=72(个),所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).6.(2016·雅安模拟)用4种不同的颜色填涂如图所示的1,2,3,4,5五个区域,要求一区一色,邻区异色,则不同的填涂方法种数是()A.120B.96C.72D.48【解题提示】先涂区域1有4种方法,区域2有3种涂色方法,区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法,区域5有2种涂色方法,根据分步乘法计数原理,问题得以解决.【解析】选B.先涂区域1有4种方法,区域2有3种涂色方法,区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法,区域5有2种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有4×3×2×2×2=96(种).【加固训练】用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,若A,B,C的值互不相同,则不同的直线共有()A.25条B.60条C.80条D.181条【解题提示】A,B,C的值互不相同,用1,3,5,7,9五个数字来替换,是分步乘法计数原理.【解析】选B.用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A,B,C;A,B,C的值互不相同,是分步乘法计数原理,直线条数是5×4×3=60.7.(2016·福州模拟)设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种【解题提示】以A中最大的数为标准,进行分类讨论,A中最大的数可能为1,2,3,4共四种情况.【解析】选B.当A中最大的数为1时,B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24-1=15(种)方法;当A中最大的数为2时,A可以是{2},也可以是{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23-1)=14(种)方法;当A中最大的数为3时,A可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B可以是{4,5}的非空子集,即有4(22-1)=12(种)方法;当A中最大的数为4时,A可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},B可以是{5},有8×1=8(种)方法,故共有15+14+12+8=49(种)方法.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线共有条.【解析】如图,在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D...
