2024 年海南省海口九年级数学综合性压轴题(第 1 题图)1．如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 y 轴交于点 C(0，－4)，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为(2，0)．(1)求该抛物线的表达式．(2)若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于 E，连结 CP，求△PCE 面积的最大值．(3)若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标．解：(1)把点 C(0，－4)，B(2，0)的坐标分别代入 y＝x2＋bx＋c 中，得解得∴该抛物线的表达式为 y＝x2＋x－4
(2)令 y＝0，即 x2＋x－4＝0，解得 x1＝－4，x2＝2，∴点 A(－4，0)，S△ABC＝AB·OC＝12
设点 P 的坐标为(x，0)，则 PB＝2－x
PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，∴△PBE∽△ABC
∴＝()2，即＝()2，化简，得 S△PBE＝(2－x)2
S△PCE＝S△PCB－S△PBE＝PB·OC－S△PBE＝·(2－x)·4－(2－x)2＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时，S△PCE的最大值为 3
(3)△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：(Ⅰ)当 DM＝DO 时，如解图①所示．DO＝DM＝DA＝2，∴∠OAC＝∠AMD＝45°，∴∠ADM＝90°，∴点 M 的坐标为(－2，－2)． ,(第 1 题图解))(Ⅱ)当 MD＝MO 时，如解图②所示．过点 M 作 MN⊥OD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，∴DN＝ON＝1，AN＝AD＋DN＝3，又 △AMN 为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，∴点 M 的坐标为(－1，－3)．(Ⅲ)当 OD＝OM 时， △OAC 为等腰直角三角形，∴点 O 到 AC 的距离为×4＝2，即 AC 上
