2．2.1 对数与对数运算 第一课时第一课时 对数[读教材·填要点]1．对数的概念如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．两类特殊对数名称定义符号常用对数以 10 为底的对数lg N 自然对数以 e 为底的对数ln N 3.对数与指数间的关系当 a>0，a≠1 时，a x ＝ N ⇔x ＝ log aN.4．对数的基本性质性质 1负数和零没有对数性质 21 的对数是 0，即 loga1＝0(a>0，且 a≠1)性质 3底数的对数是 1，即 logaa＝1(a>0，且 a≠1)[小问题·大思维]1．任何指数式都能转化为对数吗？提示：不能．如(－3)2＝9 就不能直接写成 log(－3)9，只有符合 a>0，a≠1 时，才有 ax＝N⇔x＝logaN2．式子 alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)成立吗？为什么？提示：此式称为对数恒等式．设 ab＝N，则 b＝logaN，∴ab＝alogaN＝N.3．指数式 ax＝N 和对数式 x＝logaN 有何区别和联系(其中 a>0 且 a≠1)?提示：二者本质是一样的，都是 a、x、N 之间的关系式；但二者之间突出的重点不一样，指数式 ax＝N 中突出的是指数幂 N，而对数式 x＝logaN 中突出的是对数 x.对数概念的理解[例 1] 求下列各式中 x 的取值范围：1(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．[自主解答] (1)因为真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1，所以，解得 x>且 x≠1.即 x 的取值范围是{x|x>且 x≠1}；(2)因为底数 x2＋1>0，且 x2＋1≠1，所以 x≠0；又因为－3x＋8>0，所以 x<，综上可知x<，且 x≠0.即 x 的取值范围是{x|x<且 x≠0}．在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即 log(－3x＋8)(x2＋1)，则 x 的取值范围又如何？解：因为底数－3x＋8>0 且－3x＋8≠1，所以 x<且 x≠.又因为 x2＋1>0，所以 x∈R.综上可知：x 的取值范围是{x|x<且 x≠}． ——————————————————解决对数式有意义的题时，只要注意满足底数大于 0 且不为 1，真数大于 0，然后解不等式即可.————————————————————————————————————————1．求使得对数 log(x－3)(6－x)有意义的 x 的取值范围．解：依题意得，解得 3
