南昌大学第三届高等数学竞赛（数学专业类 2024 级）试卷试卷编号： ( )卷课程名称： 适用班级： 姓名： 学号： 班级： 专业： 学院： 系别： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累 分 人 签名题分25131312121015 100得分考生注意事项：1、本试卷共 8 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、推断题(每题 5 分，共 25 分) 以下命题是正确的，请给以证明；不正确的，请举例说明。1、将数列分成无穷多个序列：，，…，，…。它们均收敛于同一个极限，则必收敛。这里，。2、设函数在可导，则在的某个邻域内连续。3、设函数，则在内没有原函数。4、设在内有定义，若对任意正数，有，则存在（极限有限）。5、若函数满足，则在可导。得分评阅人 二、证明题（13 分） 设，且，则无界。得分评阅人 三、证明题（13 分） 设，，则（i）在一致连续；（ii）在不一致连续。得分评阅人 四、证明题（12 分） 设 函 数在上 有 二 阶 导 数 ，，，则存在，使得。得分评阅人 五、证明题（12 分） 设满足微分方程。（i）若在处取极值，证明它必为微小值； （ii）若在处取极值，问是极大还是微小？得分评阅人 六、证明题（10 分） 设连续，且，求并讨论在的连续性。得分评阅人 七、证明题（15 分） 设函数在上可积，在处连续。设得分评阅人 ， 证明：。
