大学数学-哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛非专业高年级组参考 答案

哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛非专业高年级组参考答案 一、1-15 题答案1、由，可得，即。。再由，可得，所以。再由，可得。2、因为存在，故在处存在且连续，从而存在且连续。由，又由可得，从而。因为在处连续，所以，即。从而，即。，从而。3、记，则。再由和夹逼性可知，。4、由，而，从而。。所以。5、令，则，可知在区间，，……，，内单调递减。又因为，，所以为垂直渐近线，为水平渐近线。从而有个实根，分属于，……，（每个区间一个实根）。6、由积分区域的对称性，可知。由轮换性可知，，所以。7、由对称性，，设。由对称性可知，。方法 1：。方法 2：。8、因为柱面在点的法向量为，所以曲线 C：在点的外法线上的法向量为。，所以。9、考虑的泰勒公式，。有，，所以，因为连续，所以存在，使。10、不妨设，。由可知，存在，使得。由可知，存在，使得。并且，所以存在，使。令，由可得。所 以 存 在，， 使， 即，。令，则，所以存在，使，即。11、过 A、B 两点的直线方程为，所以，，12、因为，。所以。令，则有13 、 由，， 令可 得。所以驻点为。令，，。（1）对，。取，则，从而在曲线上为极大值点。取，则，从而在曲线上为微小值点。总之，不是极值点。（2）对于点，，，所以均为微小值点。微小值为-2。14、令，则，所以原式15、因为，，所以，。，。所以，重心坐标为。二、附加题答案16、由，可得。从而方程变为，即。对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以基础解系为。原方程的一个特解为，故通解为。17、（1），所以。（2）因为，所以时，级数收敛。又因为，，，所以，当时，级数发散。