§2.3 函数的奇偶性与周期性1． 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数 y＝f(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数 y＝g(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有－x∈D，且 g ( － x ) ＝ g ( x ) ，则这个函数叫做偶函数关于 y 轴 对称2. 周期性(1)周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数 f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( × )(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．( √ )(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( √ )(4)若函数 f(x)＝为奇函数，则 a＝2.( √ )(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数．( √ )(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 014)＝0.( √ )2． (2013·山东)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋，则 f(－1)等于( )A．－2 B．0 C．1 D．2答案 A解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3． 已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )A．－ B. C. D．－答案 B解析 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴a＝，则 a＋b＝.4． 已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 015)等于 ( )A．－2 B．2 C．－98 D．98答案 A解析 f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又 f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即 f(2 015)＝－2.5． 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足 f(x)>0 的 x的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 画草图，由 f(x)为奇函数知：f(x)>0 的 x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．题型一 ...
