§5.3 平面向量的数量积1． 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 称作向量 a和向量 b 的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.2． 向量在轴上的正射影已知向量 a 和轴 l(如图)，作OA＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的数量或在轴 l 的方向上的数量．OA＝a 在轴 l 上正射影的坐标记作 al，向量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为 θ，则由三角函数中的余弦定义有 al＝|a|cos θ.3． 向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a||b|cos 〈 a ， b 〉 叫 做 向 量 a 和 b 的 数 量 积 ( 或 内 积 ) ， 记 作 a·b ， 即 a·b ＝ |a||b|cos〈a，b〉．(2)向量数量积的性质：① 如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝|a|2，|a|＝；④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)；⑤|a·b|≤|a||b|.(3)数量积的运算律：① 交换律：a·b＝b·a.② 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.③ 对 λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．(4)数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a·b＝a1b1＋ a 2b2；②a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＝ 0 ；③|a|＝；④cos 〈a，b〉＝.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． ( √ )(3)△ABC 内有一点 O，满足OA＋OB＋OC＝0，且OA·OB＝OB·OC，则△ABC 一定是等腰三角形． ( √ )(4)在四边形 ABCD 中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形 ABCD 为矩形． ( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，]． ( × )(6)已知 a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是 λ<－或 λ>0. ( × )2． (2012·陕西)设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于 ( )A. B. C．0 D．－1答案 C解析 a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.3． 已知向量 a，b 的...
