§3.4 基本不等式：≤(一)课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a ＝ b 时取“＝”号)．2．若 a，b 都为正数，那么≥(当且仅当 a＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；(2)当 x>0 时，x＋≥2；当 x<0 时，x＋≤－ 2 .(3)当 ab>0 时，＋≥2；当 ab<0 时，＋≤－ 2 .(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题1．已知 a>0，b>0，则，， ，中最小的是( ) A. B. C. D.答案 D解析 方法一 特殊值法．令 a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.∴最小．方法二 ＝，由≤≤≤ ，可知最小．2．已知 m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则 m、n 之间的大小关系是( )A．m>n B．m
n.3．设 a，b∈R，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( )A．1≤ab≤ B．ab<1>0，∴>1，∴ab<1<.4．已知正数 02，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是 a2＋b2与a＋b 之一．而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又 0>0，∴ >，∴a2＋b2>. b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b 最大．6．若不等式 x2＋ax＋1≥0 对一切 x∈恒成立，则 a 的最小值为( )A．0 B．－2 C．－ D．－3答案 B解析 x2＋ax＋1≥0 在 x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥max. x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.二、填空题7．若 a<1，则 a＋有最______值，为________．答案 大 －1解析 a<1，∴a－1<0，∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0 时取等号)，∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.18．若 lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．答案 2解析 lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，∴＋＝＋≥2(x＝2...
