备课资料一、参考例题［例 1］若 a≥b＞0，试比较 a，，，，，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来.分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明.观察与猜想：令 a＝4，b＝3，则：a＝4＝；＝；=；=；b＝3＝当 a＝b 时，上述各式都相等，故有猜想：a≥≥≥≥≥b.解： a≥b＞0∴（1）a＝＝≥；(2) ＝≥；(3)≥；(4) ＝，即≥.(5) －b＝≥0即＞b综上所述：a≥≥≥≥.评述：1.对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向.2.对于(4)也可以从基本不等式进行推导：≥≤..这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程.3.本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数 a、b 的算术平均数（）和几何平均数（）外，这里， 和分别叫正数 a、b 的平方平均数和调和平均数.对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数.即若 a>0,b>0，则有≥≥≥（当且仅当 a＝b 时取“＝”号）.［例 2］已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1，求证：(1)（－1）（－1）（－1）≥8；(2)a2＋b2＋c2≥；(3)+≥27；(4)（1＋）（1＋）（1＋）≥64.分析：在不等式证明中，n 个正数的和为 1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：(1) a＋b＋c＝1 且 a>0，b>0，c>0，∴－1＝－1＝＞0；－1＝＞0；－1＝＞0.三式相乘得：（－1）（－1）（－1）≥＝8，即（－1）（－1）（－1）≥8.(2) a>0，b>0，c>0 且 a＋b＋c＝1，∴1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤a2＋b2＋c2＋（a2＋b2）＋（b2＋c2）＋（a2＋c2）＝3（a2＋b2＋c2）∴a2＋b2＋c2≥.(3) a>0，b>0，c>0 且 a＋b＋c＝1，∴＋＝（a＋b＋c）2（＋）≥（3）2·3＝27∴＋≥27(4) a>0，b>0，c>0 且 a＋b＋c＝1，∴（1＋）（1＋）（1＋）＝（1＋）（1＋）（1＋）＝（2＋）（2＋）（2＋）≥（2＋）（2＋）（2＋）＝8（1＋）（1＋）（1＋)≥8（2)（2）（2）＝64即（1＋）（1＋）（1＋）≥64.评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键.（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的 1 看作 a＋b＋c...
