2025 年人教版九年级数学下册 27.2.1 第 3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 27.2.1 相似三角形的判定 第 3 课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义,能分清条件和结论,并能用文字、图形和符号语言表示;(重点)2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似,并解决简单的问题.(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形,使它们的两条对应边成比例,并且夹角相等.量一量第三条对应边的长,计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等?你能得出什么结论?二、合作探究探究点:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知:如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 D、E 分别是AB、CB 延长线上的点,CE=9,AD=15,连接 DE.若 BC=6,AC=8,求证:△ABC∽△DBE.解析:首先利用勾股定理可求出 AB 的长,再由已知条件可求出 DB,进而可得到 DB∶AB 的值,再计算出 EB∶BC 的值,继而可判定△ABC∽△DBE.证明: 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB==10,∴DB=AD-AB=15-10=5,∴DB∶AB=1∶2.又 EB=CE-BC=9-6=3,∴EB∶BC=1∶2,∴EB∶BC=DB∶AB,又 ∠DBE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DBE.方法总结:解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图,已知△ABC 中,D 为边 AC 上一点,P 为边 AB 上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当 AP 的长度为________时,△ADP和△ABC 相似.解析:当△ADP∽△ACB 时,AB(AP)=AC(AD),∴12(AP)=8(6) , 解 得 AP = 9. 当 △ ADP∽△ABC 时 , AB(AD) =AC(AP),∴12(6)=8(AP),解得 AP=4,∴当 AP 的长度为 4或 9 时,△ADP 和△ABC 相似.故答案为 4 或 9.方法总结:添加条件时,先明确已知的条件,再根据判定定理寻找需要的条件,对应本题可先假设两个三角形相似再利用倒推法以及分类讨论解答.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延长线交 CA 的延长线于 F.求证:AC...