2025 年人教版九年级数学下册 27.2.1 第 3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 27.2.1 相似三角形的判定 第 3 课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D、E 分别是AB、CB 延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接 DE.若 BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出 AB 的长，再由已知条件可求出 DB，进而可得到 DB∶AB 的值，再计算出 EB∶BC 的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明： 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又 EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又 ∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知△ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当 AP 的长度为________时，△ADP和△ABC 相似．解析：当△ADP∽△ACB 时，AB(AP)＝AC(AD)，∴12(AP)＝8(6) ， 解 得 AP ＝ 9. 当 △ ADP∽△ABC 时 ， AB(AD) ＝AC(AP)，∴12(6)＝8(AP)，解得 AP＝4，∴当 AP 的长度为 4或 9 时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为 4 或 9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 的延长线于 F.求证：AC...
