第三节 函数的奇偶性与周期性 知识梳理一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及简单性质.2.若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立．3．若奇函数 f(x)的定义域包含 0，则 f(0)＝0.4． 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式． 在 定义域关 于原点对称的情况下，(1)若 f(x)－f(－x)＝0 或＝1[f(－x)≠0]，则 f(x)为偶函数；(2)若 f(x)＋f(－x)＝0 或＝－1[f(－ x)≠0]，则 f(x)为奇函数．5．设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的周期性1．周期函数定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使得 f(x＋T)＝f(x)恒成立，则 f(x)叫做________，T 叫做这个函数的________．2．周期函数的性质：(1)若 T 是函数 f(x)的一个周期，则 kT(k∈Z，k≠0)也是它的一个周期；(2)f(x＋T)＝ f(x)常写作 f＝f；(3)若 f(x)的周期中，存在一个最小正数 t 满足 f(x＋t)＝f(x)，则称 t 为 f(x)的最小正周期；(4)若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(ωx)(ω≠0)也是周期函数，且周期为.11. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2. 了解函数的周期性3. 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 基础自测1．( 2013·北京西城区期末)下列函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝－B．y＝e|x|C．y＝－x2＋3D．y＝cos x解析：y＝－是奇函数，A 错误；y＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y＝－x2＋3 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y＝cos x 是偶函数且在(0，＋∞) 上有时递增，有时递减，D 错误．故选 B.答案：B2．函数 f(x)＝＋x 的图象关于( )A．y 轴对称B．直线 y＝－x 对称C．坐标原点对称D．直线 y＝x 对称解析：可判断 f(x)＝＋x 为奇函数，所以图象关于原点对称．故选 C.答案：C3．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝2x－3，则 f(－2)＝( )A．1 B．－1 C．－ D.答案：B4．若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数，f(x)在 区间[－6，－4]上是减函数，则 f(x)在[0,2]上的单调性是 ________．解析： T＝4，且在[－6，－4]上单调递减，∴函数在[－2,0]上也单调递减．又 f(x)为偶函数，故 f(x)的图象关于 y 轴对称，由对称性知 f(x)在[0,2]上单调递增．答案：单调递增1．设函数 f(x)和...
