第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________(简记为 Sα±β)； cos(α±β)＝________________(简记为 Cα±β)；tan(α±β)＝_____________ ___(简记为 Tα±β)．答案：sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin 2α＝________(简记为 S2α)；cos 2α＝________________(简记为 C2α)；tan 2α＝________(简记为 T2α)．答案：2sin αcos α cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 三、二倍角余弦公式的变式1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.四、辅助角公式asin x＋bcos x＝sin 其中 φ 角所在的象限由 a，b 的符号确定，φ 角的值由 tan φ＝确定．基础自测1．已知 sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，则 sin 2θ＝( )A．－ B．－ C．－ D.解析：由题意知 cos θ＜0，又 sin θ＝，∴cos θ＝－，故 sin 2θ＝2 sin θcos θ＝－.答案：A2．已知 sin＝，则 sin 2θ 的值为( )A．－ B．－ C．－ D.解析：由 sin＝得 sincos θ＋cossin θ＝，即 cos θ＋sin θ＝，平方得 1＋2sin θcos θ＝，∴sin 2θ＝－.故选 B.答案：B3．若 cos α＝，其中 α∈，则 sin 的值是________________．解析：sin 2＝＝，又∈，∴sin ＝－.答案：－4．已知 α 是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则 tan α＝________.11．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．解析：∵tan(π＋2α)＝－，∴tan 2α＝－，由二 倍角公式得＝－，又 α 为第二象限角，∴tan α＝－.答案：－1．(2012·山东卷)若 θ∈，sin 2θ＝，则 sin θ＝( )A. B. C. D.解析：∵ θ∈，∴2θ∈，cos 2θ<0.∴cos 2θ＝－＝ －.又 cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，∴sin2θ＝，sin θ＝.故选 D.答案：D2．(2013·浙江卷)已知 α∈R，sin α＋2cos α＝，则 tan 2α＝( )A. B. C．－ D．－解析：由(sin α＋2cos α)2＝2可得＝＝，整理得 3 tan2α－8 tan α－3＝0，解得 tan α＝3 或 tan α＝－，于是 tan 2α＝＝－.答案：C1．(2013·韶关二模)已知 f(x)＝cos 2x＋2 sin xcos x，则 f( )A. B．－ C. D．－解析：函数 f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，f＝2sin＝2sin＝2sin＝.故选 A.答案：A2．已知 sin＋sin α＝－，－<α<0，则 cos α＝________.解析：sin＋sin α＝－，所以 sin αcos＋cos αsin＋sin α＝－，化简得 sin α＋cos α＝－，sin α＋cos α＝－，即 sin＝－.因为－＜α＜0，所以－＜α＋＜.故 cos＝.因此 cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝.答案：2
